Welchen Einfluss hat der Faktor b in der Normalform der Parabel?

Question

Lässt man bei der Parabel ax² + bx + c den Wert für b die Werte von beispielsweise -10 bis 10 durchlaufen, so scheint der Scheitel dieser Parabel sich auf einer "unsichtbaren" Parabel zu bewegen, die nach unten offen ist. Wie ließe sich die Gleichung dieser Parabel errechnen?

    

Comments

Du möchtest die Ortslinie der Scheitelpunkte bestimmen, wenn a und c vorgegeben und b ein Parameter ist? 

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So kann man es auch sagen, ja. 

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Lu, zuerst einmal meinen Glückwunsch an dich das du herausgefunden
hast was der Fragesteller überhaupt meint !

@gr5959
Ich versuche es einmal
f ( x ) = a * x^2 + b * x + c
f ´ ( x ) = 2*a*x + b

Scheitelpunkt
2*a*x_S + b = 0
x_S = -b / ( 2a )
f ( -b / (2a) ) = yS = a * (-b / (2a) )^2 + b * ( -b / (2a) + c
y_S = c - b^2 / (4a )

a,c = const
b ist variabel

Beispiel

a = 2
c = 3

b = 1 : blau
b = 2 : rot
b = 3 : grün

Du meinst sicher
oker : ( Orts- ) kurve durch die Tiefpunkte
ort ( x ) = -a*x^2 + c

Soviel zunächst.

mfg Georg

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Was der Fragesteller meint, ist, wie man die  Gleichung derjenigen Parabel findet, die unter https://www.geogebra.org/m/vTNw48Pv blau gezeichnet ist. 

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x_S = -b / ( 2a )
y_S = c - b² / (4a )

aus 1.)
xs * 2a = -b
b = - xs * 2 * a

in 2.)
y_S = c - ( - x_s * 2 * a )² / (4a )
y_S = c - a*x^2

Dies ist der rein formale Weg zur Entwicklung der Ortskurve.

Zur weiteren Erläuterung kann ich gerne noch ein Bildchen malen.

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Die Skizze zeigt dir folgenden Sachverhalt

 

Zu sehen ist ein Kurve.
Dies ist die Kurve auf der alle Tiefpunkte liegen.
Diese Kurve kommt dadurch zustande das b variabel ist..
Gehe ich für ein bestimmtes b in die Kurve ergibt sich auf der x-Achse :
x = -b / ( 2a )
und auf der y-Achse
y = c - b² / (4a )
Durch die Umformung  nach y ( x )
ergibt sich die Funktionsgleichung.

mfg Georg

Answer 1

Hm,

das bei einer quadrstischen Funktion einem der Begriff" Steigung im y-Achsenabschnitt" begegnet ist mir neu.

Um die Frage aufzugreifen. Berechne aus Deiner Funktion f(x):=a * x^2 + b * x + c den Scheitelpunkt S der Parabel. Schau Dir dann die y-Koordinate des Scheitelpunktes an. Was fällt Dir dann unter besonderer Berücksichtigung von b auf?

Comments

> Steigung im y-Achsenabschnitt

Das war auch äußerst schlampig formuliert von mir. Ich hätte wohl sagen sollen "Steigung im Schnittpunkt mit der y-Achse".

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Ich lese die Koordinaten des Scheitelpunktes aus der Scheitelpunktform der Parabel ab. Die x-Koordinate ist b/2a, die y-Koordinate c minus b/4a. Das heißt für mich, dass b auf mehrfache Weise an beiden Koordinaten beteiligt ist. Auf so komplizierte Weise, dass ich keine klare Antwort geben kann, welche Rolle der Wert b für das Aussehen der Parabel hat. Jedenfalls keine so klare Antwort, wie die Frage nach der Rolle von a und c für den Verlauf der Parabel ergibt.

Damit bin ich nicht weitergekommen mit der Frage, wie die nach unten geöffnete Parabel zu errechnen sei, deren Bahn der Scheitel der Normalform entlangläuft, wenn man lediglich den Wert von b verändert. 

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Wenn ich den Scheitelpunkt aus der allgemeinen Parabelgleichung berechne komme ich auf

Sp(a, b, c):=( -b /(2 *a) , (4 *a * c - b^2 ) / (4 * a) )

d.h. der Scheitelpunkt hängt an einem quadratischen b. Wenn Du jetzt die Scheitelpunktfunktion Sp mit einer Tranformation x = -b /(2 *a) auf die Form

Sp(x)  -> ( x , p(x) )

bringst, dann hast du in der y-Koordinate die gesuchte Parabel p(x).

Sag Bescheid, wenn Du weiter Hilfe brauchst - BTW. kannst Du mit GeoGebra umgehen?

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Mit GeoGebra kenne ich mich nicht aus. Hat das Programm Vorteile gegenüber Desmos, mit dem ich derzeit arbeite? G.R. 

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Ja, ich brauche noch Hilfe. Du schreibst: » d.h. der Scheitelpunkt hängt an einem quadratischen b«. Hängt er nicht zugleich an dem negativen b in minus b/2a?

Weiter. Was verstehst du hier unter Transformation? Und was unter dem p, das hier unvermittelt auftaucht? 

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Sind wir uns bei der Berechnung der Scheitels einig?

p ist die Parabelfunktion, die entsteht, wenn Du -b /(2 *a) als x-Koordinate einer neuen Funktion betrachtest, die die Bahn des Scheitlpunktes einer Parabel wiedergibt. ich schreibe die Bahnkurve mal etwas deutlicher auf:

(4 *a * c - b² ) / (4 * a) = c - b²/(4a) = c - b/(2a) * a*b/(2a)

Siehst Du was?

Desmos kenn ich net.

GeoGebra ist ein geniales Tool: Erst selbst überlegen dann gucken https://www.geogebra.org/m/vTNw48Pv

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Hab gerademal bei Desmos vorbei geschaut - entspricht grob GeoGebra 1.0 oder so...
Inzwischen hat GeoGebra 2D und 3D-Geometrie, CAS, Tabellenblätter, Statistik usw.

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Ich fürchte, GeoGebra ist fast zu genial für einen Autodidakten wie mich, dem die dort verwendete Sprache großenteils fremd ist. Doch darauf vertrauend, dass  du Geduld mit mir hast, gehe ich durch die Punkte 1 bis 7 auf der Seite https://www.geogebra.org/m/vTNw48Pv  und stelle dort meine Fragen, wo mein Verständnis aussetzt.

Zu 1. Warum erscheint nach dem Pfeil die gleiche Funktion noch einmal?

Zu 2. "Substitute [x, p(x), Solve [p'(x)]]: Was heißt das in Klartext?

Zu 3.-6. Es soll eine Transformation durchgeführt werden, aber als deren Resultat in Punkt 6 erscheinen wieder nur die beiden Koordinaten des Scheitelpunktes der ursprünglichen Parabel, die ja schon unter Punkt 2 angegeben wurden.

Zu 7. Es müssten nun noch mehrere Schritte folgen bis zum Resultat h(x) = C minus Ax² (das ich aus der Beispielrechnung in der linken Spalte folgere). Doch Punkt 7 ist leer.

 

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Pardon! Ich muss mich selbst korrigieren: Das Ergebnis der Transformation erscheint bereits unter Punkt 4. Doch der Weg dorthin ist mir unverständlich. Was heißt pb(x) und was ist überhaupt eine Transformation?

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Ajee,

ich denke wir sollten jetzt nicht zu sehr auf GeoGebra eingehen - ich rechne nicht gerne und verwende das CAS die Berechnung durch zuführen. Das scheint bei Dir im englischen Spachmodus zu laufen. Ich kann Dir gerne das GeoGebra-Modell erkären, aber bleiben wir doch erst bei der Aufgabe:

Meist nennst Du eine Funktion f(x): z.B. f(x) = a x² + b x + c wenn Du aus dieser Funktion (z.B. durch quadratisches Ergänzen) den Scheitelpunkt ausrechnest bekommst Du eine neue Funktion. Die nenne ich Sp und sie hängt von den Parametern der Parabel a,b,c ab Sp(a,b,c). In meinem Geogebra-Modell sind a,b,c Schieberegler mit denen Du beliebige Parabelfunktionen einstellen kannst und die den Scheitel S definieren als

S:= ( -b/2a , (4ac - b² )/ (4a) )

BTW: wackel einfach an dem Schiebreger b dann siehst Du S auf der blauen Parabel wandern, egal welche a bzw. c vorgegeben sind.

Alle Punkte auf der Parabel f lassen sich schreiben als f->(x,f(x)) - jedem x-Wert wird ein Funktionswert f(x) zugeordnet: z.B. die Parabelpunkte (x , ax²+bx+c). Um aus S eine Funktion zu gewinnen müssen wir eine Funktion S->( x , S(x) ) konstruieren:

Also -b/(2a) muss als x geschrieben werden und dieses x=-b/(2a) muss in dem Funktionswert (4ac - b² )/ (4a) "eingebracht oder wiedergefunden" werden was dann die Funktion pb(x) = c - a x² ergibt - gezeichnet heißt sie h(x) das ist die Bahnkurve des Scheitlpunktes der Parabel f(x).

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Verstanden, bis ich zu dem Satz komme: " dieses x=-b/(2a) muss in dem Funktionswert (4ac - b² )/ (4a) "eingebracht oder wiedergefunden" werden was dann die Funktion pb(x) = c - a x² ergibt - ". Könntest du das ausführlicher Schritt für Schritt darlegen, bitte? 

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Dazu hab in dem vorangegangen Posting geschrieben:

ich schreibe die Bahnkurve mal etwas deutlicher auf:

(4 *a * c - b² ) / (4 * a) = c - b²/(4a) = c - b/(2a) * a*b/(2a)

Siehst Du was?

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Danke, jetzt habe ich verstanden! Ich lege mir nun die Lösung folgendermaßen zurecht. Alle Punkte der gesuchten Parabel sind Scheitelpunkte der gegebenen Parabel. Also haben sie alle die Koordinaten (-b/2a; c–b²/4a). Um die Funktionsgleichung der gesuchten Parabel zu bekommen, errechne ich b aus der x-Koordinate, bekomme b = -2ax und setze dieses b in die y-Koordinate c – b²/4a ein. Das Ergebnis ist y = c – ax².

Ist das korrekt formuliert?

Können wir noch einmal auf GeoGebra und dort die Seite https://www.geogebra.org/m/vTNw48Pv zurückkommen? Ich würde gern wissen

a) was Du wo eingegeben hast, um die Rechnung auf dieser Seite als Output zu bekommen?

b) Zur Seite selbst:

Zu 1. Warum erscheint nach dem Pfeil die gleiche Funktion noch einmal?

Zu 2. "Substitute [x, p(x), Solve [p'(x)]]": Was heißt das in Klartext?

Zu 5. und 6. Nachdem die Lösung schon in 4. steht, warum noch diese Informationen, die schon in 2. gegeben wurden?

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Yep, das trifft es im Wesentlichen...

Ich hab mein Geogebra-Arbeitsblatt nochmal umgestaltet. Die Berechnung erfolgt im CAS-Fenster und ich verwende das deutsche Sprachmodell.

zu 1: Die Eingabe in eine CAS-Zeile ist im Falle einer Funktion gleich der Ausgabezeile, wenn keine Vereinfachung der Terme erfolgt (erfolgen kann) - das ist einfach die Rückmeldung, dass die Funktion als solche erkannt wird.

Löse[p'(x)=0] oder Solve[p'(x)=0] : Berechne die Ableitung p'(x) von p(x) - setze p'(x)=0 und löse diese Gleichung nach x auf. Die Ausgabe dieser Zeile

{x = -B / (2 * A)}

Das ist die x-Koordinate des Scheitelpunktes, den ich für zur Berechnung der y-Koordinate in die Parabel einsetzen muss - also nehme ich einen Punkt der Parabel ( x , p(x) ) und ersetze  x durch  -B / (2*A)

Sp:=Ersetze[ (x,p(x)) , Löse[p'(x)=0] ] oder Substitute[ (x,p(x)), x = -B / (2*A) ]

Sp:=(-B / (2*A), (4*A*C - B²) / (4*A)

was den allgemeinen Scheitelpunkt ergibt. 5. 6. im alten Blatt waren nur Kontrollen, ob ich richtig zusammengefasst habe, weil ich den formalen Weg durch Einsetzen nicht aufschreiben wollte.

Formal:

Kann ich nun  x = -B / (2*A)  nach B umstellen: Den Term hole ich aus der x-Koordinate von Sp. d.h. x(Sp)

Löse( x=x(Sp) , B)

{B = (-2*A)*x)}

was ich in Sp einsetzen kann

Sb:=Ersetze[S_p, Löse( x=x(Sp) , B) ]

Sb:=(x, -A * x² + C)

Kommst Du damit klar?

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Ich vestehe nun alles, aber ich zweifle, ob ich allein auf mich gestellt mit diesem Programm klarkäme... Jedenfalls Dank für alle Mühe, meine anfängliche Frage ist vollständig beantwortet, und ich habe sehr viel bei dieser Diskussion gelernt! , G.R. 

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Danke für die Rückmeldung.

Du musst ja nicht mit dem CAS einsteigen - viel Erfog...

Answer 2

Wie ließe sich die Gleichung dieser Parabel errechnen?

(1) Stelle die Normalform in die Scheitelform um:$$ \begin{aligned} y &= ax^2+bx+c \\\,\\  &= a \cdot \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + c - \dfrac{b^2}{4a}.\end{aligned} $$
(2) Löse die x-Koordinate des Scheitels nach \(b\) auf $$x = -\dfrac{b}{2a} \quad\Leftrightarrow\quad b=-2ax$$(3) und setze dies in die y-Koordinate des Scheitels ein:$$ y = c - \dfrac{b^2}{4a} = c - \dfrac{(-2ax)^2}{4a} = c-ax^2.$$Dies sind die drei Schritte einer möglichen Rechnung.

 

Ergebnis: Die Scheitel der in Normalform gegebenen Parabeln bewegen sich beim Variieren des Parameters \(b\) auf einer Parabel mit der Gleichung $$ y = c-ax^2.$$

Answer 3

b ist die Steigung im y-Achsenabschnitt. Warum das so ist lernt man in der Oberstufe.

Comments

In der Oberstufe habe ich gelernt, dass die Steigung einer Kurve, also auch der Parabel, in einem gegebenen Punkt durch Differenzieren zu bestimmen sei. Dass man die Steigung auch aus b errechnen könnte, müsstest Du näher erläutern!

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y = bx +c ist die Gleichung der Tangente an y = ax^2+bx+c im Punkt (0|c).

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Ich sehe ein, dass das richtig ist. Wie aber bringt mich das weiter in der Frage, welche Bahn der Scheitel einer Parabel ax² + bx  + c durchläuft, wenn man lediglich den Wert von b verändert? 

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Überhaupt nicht.

Ich habe lediglich die Frage "Welchen Einfluss hat der Faktor b in der Normalform der Parabel?" beantwortet, nicht die Frage "Wie ließe sich die Gleichung dieser Parabel errechnen?".