Ableitung einer e-Funktion f(x)=2x*e^{-2x} und Klammern zusammenfassen

Question

f(x) = 2x*e^-2x

f '(x) = (2-4x)*e^-2x

Die erste Ableitung habe ich überprüft, bei der zweiten Ableitung habe ich aber ein ganz bestimmtes Problem, ab hier also in Einzelschritten

f '' (x) = -4*e^-2x + (2-4x)*(-2)*e^-2x          | Habe dann weiter zusammengefasst...

f '' (x) = -4*e^-2x+(-4+8x)*e^-2x            | Und nun versuche ich in diesem Term ^e-2x auszuklammern

f '' (x) = (-4(-4+8x))*^e-2x

Der Ableitungsrechner sagt mir allerdings, dass die zweite Ableitung folgendermaßen lautet:

f '' (x) = 8x⋅e^−(2x)−8e^−(2x)

würde dann ja mit dem e ausgeklammert dem hier entsprechen:

f '' (x) = (8x-8) * e^-2x

Wieso konnten also nun (wenn man von meiner unterstrichenen Lösung ausgeht) diese Beiden Klammern zusammengefasst werden, theoretisch muss doch erst (-4+8x) gerechnet werden, bevor die -4 verrechnet wird, spricht es kann nicht weiter zusammengefasst werden... oder wo liegt mein Fehler ?

MfG MAPster

Answer 1

Da hast du beim Ausklammern einen kleinen Fehler gemacht:

Das Distributivgesetz lautet ja:

ab + cb = (a+c)b

Das heißt in deinem Fall:
-4*e^-2x+(-4+8x)*e^-2x  = (-4 + (-4+8x)) * e^-2x = (8x - 8) e^-2x
 

Comments

Hm, genau so habe ich es doch ausgeklammert ^^

aber... (a+c)*b

In diesem Fall entspricht c ja (-4+8x) und irgendetwas in mir sagt, dass ich c und a nicht zusammenfassen darf, da c ja aus mehr als einer Zahl besteht und in Klammern steht.

Das war mein Hauptproblem ^^

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Ah, ich sehe gerade, dass ich da was falsch verstanden hab bei dir, bzw. dass du etwas falsch formuliert hast.

Wenn man z.B schreibt

-4(-4+8x)

dann meint man damit für gewöhnlich

-4*(-4+8x)

Wenn also Zahlen und Klammern direkt aufeinander treffen, dass ist das eine Multiplikation. Was du meinst ist

-4 + (-4+8x)

In der Addition kannst du Klammern ja einfach hinzufügen oder weglassen (das nennt man das Assoziativgesetz) ohne das der Wert sich ändert.

a + (b+c) = (a+b)+c = b + (a+c)

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Ah danke, das Assoziativgesetz habe ich gesucht =)

Ja tut mir leid, das hab ich natürlich 'n bisschen verpeilt mit dem +, aber danke dass du dir trotzdem die Mühe zum antworten und korrigieren gemacht hast ;)

Answer 2

\(f(x) = 2x \cdot e^{-2x}=\frac{2x}{e^{2x}}\)

Ableitung mit der Quotientenregel:

\((\frac{Z}{N})'=\frac{Z'N-ZN'}{N^2}\)

\(f'(x) = \frac{2\cdot e^{2x}-2x\cdot e^{2x}\cdot 2 }{e^{4x}}=\frac{2\cdot e^{2x}-4x\cdot e^{2x} }{e^{4x}}\)

Kürzen:

\(f'(x) = \frac{2-4x }{e^{2x}}\)