Konvergente Reihe + Nullfolge

Question

Frage: Sei nun ∑ an konvergent aber nicht notwendig absolut konvergent und (bn)n∈N eine Nullfolge. 

Konvergiert dann die Reihe ∑ anbn? (Beweis oder Gegenbeispiel.)

Ich habe einmal mit einem Gegenbeispiel probiert. Dafür habe ich gewählt:

Konvergente Reihe an= ∑1/(n-1)! und als Nullfolge bn= 1/n

∑an*bn= ∑1/(n-1)! * 1/n

Durch Anwendung des Quotientenkriteriums lim (an+1/an) <1 kam ich dann auf einen Doppelbruch

| [1/n!*(n+1)!] / [1/(n-1)!*n] | =.. =  |1/n+1|

Dann schicke ich den lim | 1/n+1 ) ist  0

0≤q∠1 , dh. die Reihe ist konvergent.

Also ist mein Beispiel kein Gegenbeispiel.

Existiert eigentlich eines und habt ihr einen Tipp

Answer 1

Als Gegenbeispiel wähle z.B. \(a_n=b_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}\).

Comments

Okay, danke :) aber welches Kriterium wende ich zum testen der Konvergenz an?

Weil es bleibt dann:

∑ (-1)²ⁿ/n 

Ich komm irgendwie nicht weiter :(

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Das ist die harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert.