Zeigen Sie, dass FixF ⊂ V ein Untervektorraum ist.

Question

 

habe folgende Frage:

1. Für einen Endomorphismus F : V → V ist die Menge der Fixpunkte von F definiert durch 

   FixF :={v∈V :F(v)=v}. Zeigen Sie, dass FixF ⊂ V ein Untervektorraum ist. 

Answer 1

Hallo Start,

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für den Vektorraumendomorphismus F gilt

F(a*x + y) = a * F(x) + F(y)     für alle a ∈ K   und x,y ∈ V    #

Zu zeigen ist  mit U = FixF :={v∈V :F(v)=v}

Unterraumkriterien:

1)    \(\overrightarrow{0}\) ∈ U

2)    x,y ∈ V   ⇒   x+y ∈ U

3)    a∈K und x∈V  ⇒  a * x  ∈ U

Nachweis:

1)  F(\(\overrightarrow{0}\)) = F(\(\overrightarrow{0}\)+\(\overrightarrow{0}\))  =_#  F(\(\overrightarrow{0}\)) + F(\(\overrightarrow{0}\)) = \(\overrightarrow{0}\) + \(\overrightarrow{0}\) = \(\overrightarrow{0}\)

2) F(x+y)  =_#   F(x) + F(y) = x + y

3) F(a*x) =  F(a*x + \(\overrightarrow{0}\))  =_#  a * F(x) + \(\overrightarrow{0}\) = a * F(x) = a * x

Gruß Wolfgang

Comments

Wolfgang ich danke dir wieder mal ++++++++++++ Du hast mir letztens super gut ein Thema erklärt, hier hast du die drei Kriterien bewiesen (hätte auch drauf kommen können "klatsch!". Aber was sind die Fixpunkte, diese haben mich total irritiert?

Gruß start