rechtw. Dreieck: Umfang = 30 cm, die Hypoth. ist 1cm länger als eine der Katheten

Question

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Umfang von 30 cm. Die Hypothenunse ist 1 cm länger als eine der beiden Katheten.

Wie lang sind Hyp. und die Katheten, wenn a²+b²=c² ist.

Vielen Danke für Hilfe.

Answer 1

Hi,

u=a+b+c=30 für den Umfang.

Außerdem gilt a+1=c (also eine der Katheten ist 1cm kleiner als die Hypotenuse c.

Letztlich verbleibt noch a^2+b^2=c^2

 

a+b+c=30      I

a+1=c             II

a^2+b^2=c^2 III

 

III eingesetzt:

a+b+a+1=30 -> b=29-2a

a^2+b^2=(a+1)^2

 

Damit in die letzte Gleichung

a^2+(29-2a)^2=(a+1)^2

a^2+29^2-2*29*2a+4a^2=a^2+2a+1  

5a^2-116a+841=a^2+2a+1           |-a^2-2a-1

4a^2-118a+840=0             |:4

a^2-29,5a+210=0             |pq-Formel

a₁=12 und a₂=35/2

 

Das jetzt wieder rückwärts eingesetzt ergibt zwei Möglichkeiten:

a₁=12 b₁=5 und c₁=13

oder

a₂=35/2 b₂=-6 und c₂=37/2

 

Letzte Möglichkeit entfällt wegen b. Negative Seitenlänge ist unbrauchbar.  Es ist also:

a₁=12 b₁=5 und c₁=13

 

Grüße

Comments

vielen, vielen Dank. Dann bleibt ja noch was vom Sonntag... ;-))

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Haha,

gerne und schönen Restsonntag ;).