Die definierenden Eigenschaften eines Untervektorraums für alle drei Konstrukte nachweisen:
\(1)\ U_1\cap U_2\cap...\cap U_n=:W.\)
\(W\subseteq V\colon\ W\subseteq U_1 \subseteq V.\). Ein Schnitt ist Teilmenge jeder einzelnen Menge, über die geschnitten wird, deshalb ist \(W\) Teilmenge von, z.B., \(U_1\) und deshalb auch von \(V\).
\(a)\) Die erste Bedingung ist entweder \(0\in W\) oder \(W\neq \emptyset\), ich werde hier Ersteres zeigen, weil daraus offensichtlich Zweiteres folgt. Genauer sind die Bedingungen äquivalent, wenn man auch noch Bedingung \(c)\) fordert. Jedenfalls:
$$\forall i \in \{1,...,n\}\colon 0\in U_i\Rightarrow 0\in \bigcap_{i=1}^nU_i=W.$$\(b)\ \forall a,b \in W\colon\ a+b\in W\colon\)
$$a,b \in W \Rightarrow a,b\in U_1, ..., U_n \Rightarrow a+b \in U_1,...,U_n \Rightarrow a+b \in W.$$ Der erste Folgepfeil gilt, weil Elemente eines Schnittes in jeder Menge liegen, über die geschnitten wird (definitionsgemäß). Dann sind alle Mengen, über die geschnitten wird, Untervektorräume, deshalb ist auch die Summe wieder in jedem dieser Räume. Und wenn die Summe in jeder der Mengen ist, ist sie auch wieder in der Schnittmenge (wieder definitionsgemäß).
\(c)\ \forall a \in W, \lambda \in K\colon \lambda\cdot a\in W.\)
$$a \in W \Rightarrow a\in U_1, ..., U_n \Rightarrow \lambda a \in U_1,...,U_n \Rightarrow \lambda a \in W.$$ Ablauf und Begründung sind ähnlich wie in \(b)\).
\(2)\) Ähnlicher Ablauf wie in \(1)\), man zeigt die Eigenschaften von \(W:=U_1+...+U_n\), indem man die Elemente von \(W\) abhängig von \(U_1, ..., U_n\) schreibt (z.B. \(0=0+0+...+0\), \(n\)-mal, und die Null ist in jedem \(U_i, i=1,...,n\) enthalten, also ist \(0\in W\)). Dann brauchst du eigentlich nur noch, dass die Addition kommutativ ist (Argumente vertauschbar sind) und dass die Multiplikation mit einem Skalar distributiv ist (dass man einen Faktor vor einer Summe stattdessen vor jeden Summanden schreiben kann). Das folgt schon daraus, dass wir in einem \(K\)-Vektorraum sind und \(K\) ein Körper ist.
\(3)\) Hier werde ich zeigen, dass aus \(U_1\subseteq U_2\) folgt, dass \(U_1\cup U_2\leq V\) und aus \(U_1\not\subseteq U_2\not\subseteq U_1\) folgt, dass \(U_1\cup U_2\not\leq V.\) Dann sind die Aussagen schon äquivalent.
\(3.1)\ U_1\subseteq U_2\colon\)
\(U_1\subseteq U_2\Rightarrow U_1\cup U_2=U_2\leq V\) nach Voraussetzung. Weil \(U_1,U_2\) beliebig waren, muss man \(U_2\subseteq U_1\) gar nicht mehr zeigen.
\(3.2)\ U_1\not\subseteq U_2\not\subseteq U_1\colon\)
\(U_1\not\subseteq U_2 \Rightarrow \exists a\in U_1\colon a\not\in U_2.\)
\(U_2\not\subseteq U_1 \Rightarrow \exists b\in U_2\colon b\not\in U_1.\)
Dann gilt: \(a+b \not\in U_1\cup U_2\). Denn wäre \(a+b \in U_1\cup U_2\), dann würde, nach Definition der Vereinigung, gelten: \(a+b \in U_1\vee a+b\in U_2.\)
Aus \(a+b \in U_1\) und der Tatsache, dass \(U_1\) ein Untervektorraum, also ein Vektorraum ist, folgt aber:
\(a+b+(-a)\in U_1\) (Summeneigenschaft des Vektorraums und weil \(a \in U_1\), muss auch \(-1\cdot a \in U_1\) gelten).
\(a+b+(-a)=a-a+b=b\in U_1\) ist aber im Widerspruch zur Wahl von \(b\), die vorschreibt, dass \(b\not\in U_1\).
Es ist also nicht möglich, dass \(a+b\in U_1\) gilt.
Dasselbe nochmal mit \(a+b+(-b)\in U_2\) wiederholen und du merkst, dass \(a+b\) weder in \(U_1\) noch in \(U_2\) liegen kann. Deshalb kann es auch nicht in der Vereinigung liegen.
Damit erfüllt \(U_1\cup U_2\) die Summeneigenschaft von Vektorräumen nicht und kann deshalb kein Untervektorraum von \(V\) sein.