Aufgabe:
Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und seien U1, U2 ⊂ V Untervektorräume von V .
a) Es wurde erwähnt, dass die Vereinigung U1 ∪ U2 im Allgemeinen kein Untervektorraum von V ist. Geben Sie hier für ein konkretes Beispiel, d.h. nennen Sie einen Vektorraum V sowie zwei Untervektorräume U1, U2 und begründen Sie,
warum in Ihrem Beispiel U1 ∪ U2 kein Untervektorraum von V ist.
b) Zeigen Sie, dass U1 ∩ U2 stets ein Untervektorraum von V ist.
c) Wir betrachten R4 sowie die beiden Untervektorräume
\( U:=\operatorname{Spann}_{\mathbb{R}}\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right\}, \quad V:=\operatorname{Spann}_{\mathbb{R}}\left\{\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\right\} \).
Bestimmen Sie eine Basis von U ∩ V .
Hinweis: Untersuchen Sie die Elemente von U + V auf lineare Abhängigkeit. Was können Sie aus dem Ergebnis folgern?
Problem/Ansatz:
