Integralrechnung 1/(x^2+2x+3)

Question

ich möchte das Folgende Integral ermitteln:

$$ \int { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+2x+3 }  }   $$

Ich habe eine Formel gefunden, mit der das Integral "einfach" berechnet werden kann. Die Frage ist nur, ist das überhaupt richtig, oder sollte man einen anderen Lösungsweg nehmen?

$$ \int { \frac { 1 }{ { u }^{ 2 }-a^{ 2 } }  } =\frac { 1 }{ 2a } ln\left( \frac { u-a }{ u+a }  \right) +C $$

Kann die Aufgabe mit der Formel gelöst werden, oder gibt es einen anderen Weg?

Comments

Vielleicht hilft die Substitution \(z=\dfrac{x+1}{\sqrt2}\).

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Hi nn,

wie ergibt sich denn (x+1)/sqrt(2)?

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Allgemein lautet die Substitution \(z=\dfrac{2x+b}{\sqrt{4c-b^2}}\) für \(f(x)=\dfrac1{x^2+bx+c}\) und \(4c>b^2\).

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Ah das bringt mich doch schon weiter, woher stammt denn diese Formel, wo ist das nachzulesen (vom Interesse her)

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Leider kann ich nn keinen +1 vergeben (Keine Rechte), oder sein Kommentar als Beste Antwort wählen. Aber mit seinem Einwand hat er dazu beigetragen mein Verständnis maßgebend zu verbessern. Danke nn.

Answer 1

Integralrechnung 1/(x²+2x+3)

hier hast Du einen nützlichen Link :

http://www.integralrechner.de/

Comments

Hi, die Seite ist mir bekannt.

Ich kann allerdings den Schritt der Substitution nicht so ganz nachvollziehen...

Daher dachte ich, dass man mit dieser Allgemeinen Formel auch gut bedient ist?

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Die Formel passt aber nicht zu deinem Integranden, da der Nenner sich nicht als Differenz zweier Quadrate darstellen lässt.

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Würde es denn funktionieren, wenn man x^2+2x+3 substituiert?

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Oder hilft hierbei eine Partialbruchzerlegung?

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leider nein. Es gibt nur den Weg . siehe Integralrechner.

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Würde es denn funktionieren, wenn man x^2+2x+3 substituiert?

Nein.

Oder hilft hierbei eine Partialbruchzerlegung?

Im Reellen ist der Nenner nicht faktorisierbar, wenn du es doch probieren möchtest, müsstest du komplex zerlegen.

Vielleicht versuchst du es mal so:

x^2 + 2x + 3 = x^2 + 2x +1 + 2 = (x + 1)^2 + (√2)^2

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Ah okay, (x + 1)² + (√2)²  im Bruch dann ginge der arctan 1/(u^2+1)

Das komische ist, dass wenn man etwas mit der Quadratischen Funktion herumspielt, mal mit dieser Form 1/(u^2+1) gerechnet wird und mal eine Partialbruchzerlegung vorgenommen wird, das verwirrt mich gerade ein wenig.

Hiermit macht er dann eine Partialbruchzerlegung

1/(x^2+7x+2)

ohne die Form 

1/(u^2+1) zu nutzen...