Sei K ein Körper und seien U und V endlich-dimensionale K-Vektorräume. Zeige: dim(U⊕V)=dimU+dimV.

Question

Sitze nun schon seit drei Stunden an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter:

Sei K ein Körper und seien U und V endlich-dimensionale K-Vektorräume. In Satz und Definition 3.1.4 wurde die direkte Summe U⊕V definiert. ZeigenSie: dim(U⊕V)=dimU+dimV. 

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Sei K ein Körper und seien U und V endlich-dimensionale K-Vektorräume. In Satz und Definition 3.1.4 wurde die direkte Summe U⊕V definiert.  Zeigen Sie: dim(U⊕V)=dimU+dimV.

Ein möglicher Lösungsweg: Wählen Sie Basen von U und V und konstruieren Sie daraus eine Basis von U ⊕ V . 

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Sei K ein Körper und seien U und V endlich-dimensionale K-Vektorräume.

Zeigen Sie: dim(U ⊕ V ) = dim U + dim V .

Ein möglicher Lösungsweg: Wählen Sie Basen von U und V und konstruieren Sie daraus eine Basis von U ⊕ V .

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ich brauche die Aufgabe auch, hat jm. eine Idee

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@Gast gc1411  Definition 3.1.4 gefunden?

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Sind U und V K-Vektorräume so ist U*V ein K-Vektorraum mir Skalarmult. r*(u,v)=(r*u, r*v). Mann nennt U*V die direkte Summe von U und V und schreibt auch U+V (plus soll in diesem kreis stehen)

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 Sei K ein Körper und seien U und V endlich-dimensionale K-Vektorräume. In Satz und Definition 3.1.4 wurde die direkte Summe U⊕V definiert. ZeigenSie: dim(U⊕V)=dimU+dimV. 

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Wie konstruiere ich eine Basis und beweise die lineare Unabhängigkeit

Answer 1

Folge doch dem Hinweis.

Wähle eine Basis u₁,...u_n  und eine v₁,....v_k .

Dann ist  u₁,...u_n  , v₁,....v_k . eine für  U ⊕ V .

Du zeigst einfach, dass du damit jedes El. von U ⊕ V

darstellen kannst, und dass u₁,...u_n  , v₁,....v_k

lin. unabh. sind.  Tipp dazu  :

Der 0_vektor 0  von U ⊕ V

ist eindeutig darstellbar als 0 = 0 + 0.

Comments

kann ich die Aufgabe auch so lösen:

sei x aus A

(dim(U+V))(x)

=dim((U+V)(x))

=dim(U(x)+V(x))

=dim*U(x)+dim*V(x)

=(dim*U)(x)+(dim*V)(x)

=(dim*U(x)+dim*V)(x)

=dim*(U+dim*V)(x)=(dim*U+dim*V)(x)

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kann mir bitte jm. sagen ob es richtig ist?

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sei x aus A.  Was ist denn  ??

(dim(U+V))(x)

und    dim(U+V)  = dim(U)+dim(V)   gilt i. allg. nicht,
nur bei direkten Summen.Ich halte deine Überlegung für falsch.

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Du zeigst einfach, dass du damit jedes El. von U ⊕ V 

darstellen kannst, und dass u₁,...u_n  , v₁,....v_k

Wie macht man das?

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dass du damit jedes El. von U ⊕ V 

Dazu musst du mal die Definition von U ⊕ V  heraussuchen. Die enthält (unter anderem ) sicher sowas wie:

Zu jedem  x aus  U ⊕ V  gibt es ein u aus U und ein v aus V mit x = u + v .Wenn du also so ein x hast, dann nimmst du erst mal die u und v mit  x = u+v.

Wenn u₁,...u_n  eine Basis von U und v₁,....v_k  eine von V ist, dann gibt es

a₁,...a_n  und    b₁,....b_k aus K mit

a₁u₁ +...+a_nu_n   = u  und entsprechend v . Und beide Summen hintereinander

stellen dann das x dar. Also ist u₁,...u_n  , v₁,....v_k  ein Erzeugendensystem von U ⊕ V.

Mit einem entsprechenden Ansatz für den 0-Vektor zeigst du dann die lin. Unabhängigkeit.

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Komme immer noch nicht weiter... stehe echt auf dem schlauch

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Erzeugendensystem hatte ich ja vorgemacht. Hast du mal nen Ansatz

für "lin. unabhängig"  versucht ?

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Nein.... habe immer noch Verständnisprobleme. Könntest du mir den Beweis einmal ganz vorrechnen. Wäre darüber echt dankbar.

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Dann schreib doch wenigstens mal die Def. von   U ⊕ V  hin.

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Sind U und V K-Vektorräume so ist U*V ein K-Vektorraum mir Skalarmult. r*(u,v)=(r*u, r*v). Mann nennt U*V die direkte Summe von U und V und schreibt auch U⊕V