Aufgabe zur Stetigkeit von Funktionen

Question

Beweise mithilfe der ε-δ-Definition der Stetigkeit:
a.) f:ℝ→ℝ, f(x)=x³ ist stetig an der Stelle 2
b.) g:ℝ→ℝ₀⁺, g(x)=Betrag von x auf dem ganzen Definitionsbereich stetig

Die Definition ist ja: Eine Funktion f:D→ℝ ist bei a∈D stetig falls gilt:  ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D: Betrag von x-a<δ⇒Betrag von f(x)-f(a)<ε

aber wie hilft mir das hier?

Answer 1

Die Definition ist ja: Eine Funktion f:D→ℝ ist bei a∈D stetig falls gilt:  ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D: Betrag von x-a<δ⇒Betrag von f(x)-f(a)<ε

aber wie hilft mir das hier?

Die Definition sagt Dir, was Du nachpruefen musst, um die Behauptung zu verifizieren. Was sonst? Bei der ersten Aufgabe ist f(x) = x³ und a = 2. Das ε > 0 ist beliebig vorgelegt, und es obliegt Dir, ein passendes δ = δ(ε) explizit anzugeben.

Z.B. hat man \(|x^3-2^3|=|x-2||x^2+2x+4|<19|x-2|\) für \(x\in(1,3)\). Das erlaubt, \(\delta=\min(1,\epsilon/19)\) zu nehmen.