Frage zur Stetigkeit von beschränkten Funktionen.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgenden Aussagen: Sei ∅ ≠ D ⊂ R
i) Ist f : D → R stetig in x0, dann ist fur jede Teilmenge E ⊂ D mit x0 ∈ E auch
f|E : E → R, x ↦f(x) stetig in x0.
ii) Sei x0 ∈ D. Existiert ein  δ ∈ R mit   δ> 0, sodass f|D∩(x0−δ,x0+δ)
stetig ist in x0, dann
ist auch f stetig an der Stelle x0.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich komme hier nicht zu einer Lösung, wie kann man hier auf eine Schlussfolgerung kommen. Ich sehe nur dass es geht aber nicht warum. Kann ich hier ein wenig Hilfe bekommen ?

Answer 1

(i): f stetig in x₀, also:

Zu jedem ε>0 ex. ein δ>0, so dass: If(x) - f(x₀)I< ε, falls Ix-x₀I<δ, x∈D

Also gilt immer noch:

Zu jedem ε>0 ex. ein δ>0, so dass: If(x) - f(x0)I< ε, falls Ix-x0I<δ, wenn x∈E⊂D

Damit ist f|E stetig in x₀. (Das gilt auch für extreme Teilmengen, zB E={x₀}

(ii): Sei x₀ ∈ D und es existiert ein δ> 0, so dass f|D∩(x0−δ,x0+δ) stetig in x₀.

D.h. mit E=D ∩ ]x₀−δ,x₀+δ[ ist fIE stetig in x₀.

Dann gilt die entsprechende ε-δ-Aussage zur Stetigkeit auf E.

Dann gilt dieselbe ε-δ-Aussage immer noch, wenn E außerhalb des δ-Bereichs vergrößert wird. Das genügt zum Nachweis der Stetigkeit von fID=f.