Wie zeigt man die Stetigkeit an einem Punkt mit Betrag

Question

Aufgabe:

Moin Leute, folgende Funktion ist hier gegeben:

f: ℝ \ {-7} → ℝ, x ↦ 3*\( \frac{x^2-7^2}{|x+7|} \)

Man soll einmal den Rechtsseitigen und einmal den Linksseitigen Grenzwert bei -7 bestimmen.

Problem/Ansatz:

Mir fällt irgendwie nichts dazu ein, normalerweise würde ich jetzt versuchen den Nenner irgendwie wegzukürzen durch quad. Ergänzung im Zähler aber das kriege ich nicht hin.

Comments

Hallo, den Nenner wegzukürzen ist schon mal ein guter Anfang. Normalerweise müsste dir deine Lehrkraft bzw. dein Professor dir das erklärt haben und aus deinen Unterlagen hervorgehen wie man die Stetigkeit an einem Punkt mit Betrag bestimmt,

Gruß Klaus

Answer 1

Du solltest |x-7| in Form einer Fallunterscheidung x>7 bzw. x<7 jeweils in eine gültige Schreibweise ohne Betragsstriche umformen. Das Kürzen funktioniert dann fallweise, wenn du x²-7² mit Hilfe der dritten binomischen Formel faktorisiert hast.

Einer der beiden Grenzwerte ist die Antwort auf alles.

Comments

ok dann bekomme ich folgendes:

⇔ 3*\( \frac{(x+7)*(x-7)}{|x+7|} \)

Fall 1: |x+7| > 0

3*\( \frac{(x+7)*(x-7)}{(x+7)} \)

⇔ 3*(x-7) ⇔ 3x-21, bei x=-7, ⇒ -21-21= -42 als rechtsseitiger Grenzwert

Fall 2: |x+7| < 0
3*\( \frac{(x+7)*(x-7)}{-1*(x+7)} \)

⇔ 3*\( \frac{(x-7)}{-1} \)

⇔ \( \frac{3x-21}{-1} \), bei x=-7 ⇒ \( \frac{-42}{-1} \) = 42 als linksseitiger Grenzwert

Wäre das so formal richtig?