Konvergenz einer folge gegen e

Question

Ich weiß, dass die Folge:
(1+ (2-n)/(4-n²))ⁿgegen e^x konvergiert aber nur welches x ist mir ein Rätsel.

Answer 1

Es gilt $$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$$

Also haben wir folgendes:

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{2-n}{4-n^2}\right)^n=\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{2-n}{(2-n)(2+n)}\right)^n \\ =\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{2+n}\right)^n=\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{2+n}\right)^{n+2-2} \\ =\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{2+n}\right)^{n+2}\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{2+n}\right)^{-2}=e^1\cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{2+n}\right)^{-2} \\ =e^1\cdot \left(\lim_{n\rightarrow \infty} 1+\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2+n}\right)^{-2}=e^1\cdot \left( 1+0\right)^{-2}\\ =e^1\cdot \left( 1\right)^{-2}=e$$

Answer 2

$$ (1+\frac { 2-n }{ 4-n^2 })^n=(1+\frac { 1 }{ n+2 })^n\to e^1 $$