Für n=1 ist es trivial.
Wir behaupten dass es für n=k gilt: $$\begin{pmatrix}\cos a &-\sin a \\ \sin a &\cos a\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}\cos (na) &-\sin (na) \\ \sin (na) &\cos (na)\end{pmatrix}$$
Wir wollen zeigen dass es für n=k+1 gilt:
$$\begin{pmatrix}\cos a &-\sin a \\ \sin a &\cos a\end{pmatrix}^{n+1}=\begin{pmatrix}\cos a &-\sin a \\ \sin a &\cos a\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}\cos a &-\sin a \\ \sin a &\cos a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (na) &-\sin (na) \\ \sin (na) &\cos (na)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos a &-\sin a \\ \sin a &\cos a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (na)\cos a -\sin (na) \sin a&-\cos (na)\sin a-\sin (na)\cos a \\ \sin (na)\cos a+\cos (na)\sin a &-\sin (na)\sin a+\cos (na)\cos a\end{pmatrix}$$
Um das gewünschte Ergebnis zu bekommen benutzen wir die folgende Eigenschaften:
$$\sin (x+y)=\sin (x)\cos (x)+\cos (x)\sin (y) \\ \cos (x+y)=\cos (x)\cos (y)-\sin (x)\sin (y)$$
