lineare Abbildung von R^2 nach R^2: f(( 1|1)) = (1|1), f((0|2)) = (0|4), f((3|1)) = (3|1)

Question

 Lineare Abbildung von R^2 nach R^2 finden

Comments

Ein solches f₂ existiert wohl nicht.

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Warum nicht?

Answer 1

Wenn du eine Rechnung machen möchtest, die zeigt, dass es nicht geht, kannst du hier schauen: https://www.mathelounge.de/404551/lineare-abbildung-r-2-zu-r-2-mit-f_1-1-1-1-0-und-f_1-1-0-0-1#a404593

Ich habe dort vor 4 Stunden einen Kommentar angebracht.

Comments

Sitze auch an dieser Aufgabe und komme nicht so recht weiter... Haben in den Vorlesungen auch noch nicht wirklich Matrizen besprochen...

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Aus der ersten und der dritten Gleichung kannst du in diesem Beispiel schliessen, dass f die identische Abbildung sein muss.

Das widerspricht dann der 2. abgebildeten Gleichung. Also gibt es keine solche lin. Abb.

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Muss man das noch irgendwie beweisen?

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Du kannst aus der ersten und dritten Gleichung ausrechnen, was f((1|0)) und f((0|1)) sein muss.

Zuerst z.B. eine Subtraktion und dann noch eine Division durch 2, ...

Dann kann du allgemein f((x|y)) = x f((1|0) + y f((0|1)) = x (1|0) + y (0|1) = ( x|y) hinschreiben

und mit Einsetzen in die 2 .Glg. ergibt sich ein Widerspruch.

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Zuerst z.B. eine Subtraktion und dann noch eine Division durch 2, ...

wie meinst du das?

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f(( 1|1)) = (1|1), f((0|2)) = (0|4), f((3|1)) = (3|1)

f((2|0)) = f((3|1)) - f(( 1|1)) = (3|1) - ( 1|1) = (2|0)

f((1|0)) = f ( 1/2 * (1/0)) = 1/2 * f((2|0)) = 1/2 * (2|0) = (1|0)  

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Wie kommst du auf f((2; 0))

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vgl. oben:

f((2|0)) = f((3|1) + (- ( 1|1))) = f((3|1)) - f(( 1|1)) 

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Sitze auch gerade an der Aufgabe und frage mich wo plötzlich (2; 0) herkommt...

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Steht doch da (in der Rechnung): (3|1) + (- ( 1|1)) = (2|0)