Zeigen Sie, dass die zugeordneten Folgen (ak) und (a´k) nicht gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.

Question

Einer Folge (n_k)_k∈ℕ natürlicher Zahlen, d.h. n_k ∈ℕ (insbesondere n_k >=1) für alle k ∈ ℕ ordne man die Folge (a_k) k ∈ℕ mit

a_k:= (1/2)^n₁+(1/2)^n₁+n₂+....+(1/2)^{n₁+....+n_k}

zu. Nun soll ich folgende Aussage zeigen:

Seien (n_k)_k∈ℕ und (n´_k)_k∈ℕ zwei verschiedene Folgen positiver natürlicher Zahlen. Zeigen Sie, dass die zugeordneten Folgen (a_k)_k∈ℕ und (a´_k)_k∈ℕ nicht gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.

Ich weiß leider gar nicht wie ich jetzt weiter vorgehen soll, habe aber schon herausgefunden, dass die Folge streng monoton wachsend ist und dass die kleinste obere Schranke 1 beträgt. Außerdem kann man die Folge a_k schreiben als

a_k:=∑(1/2)^{n₁+....+n_k}

Wäre super wenn mir jemand weiterhelfen würde.

Comments

"habe aber schon herausgefunden, dass die Folge streng monoton wachsend ist "

Die Summandenfolge in der Summe ist streng monoton fallend. 

Der "Rest" nach dem m-ten Summanden lässt sich nach oben abschätzen.

 Seien (n_k)_k∈ℕ und (n´_k)_k∈ℕ zwei verschiedene Folgen und n_(p) das erste Folgenglied in dem sie sich unterscheiden.

Also n_(p) ≠ n_(p)' .

Dann kannst du im Prinzip bereits ausrechnen, um wie viel sich die beiden Resultate mindestens unterscheiden müssen. Oder(?)