Hallo immai,
α: ℝ3 → ℝ3 , \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) ↦ \(\begin{pmatrix} 1&0&-3\\ 2&0&-6\\ 0&0&0\end{pmatrix}\) • \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} x - 3z \\ 2x - 6z \\ 0 \end{pmatrix}\)
Betrachten wir \(\vec{u}\) = \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v}\) = \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
\(\vec{u}\) liegt im Bild, weil \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} x - 3z \\ 2x - 6z \\ 0 \end{pmatrix}\) mit x = 1 und z = 0 erfüllbar ist.
\(\vec{v}\) liegt nicht im Bild, weil \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} x - 3z \\ 2x - 6z \\ 0 \end{pmatrix}\) nicht erfüllbar ist.
\(\vec{u}\) liegt nicht im Kern, weil sein Bildvektor \(\begin{pmatrix} 1-3·0 \\ 2-6·0 \\ 0 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) ≠ \(\vec{0}\) ist.
\(\vec{v}\) liegt im Kern, weil sein Bildvektor \(\begin{pmatrix} 3-3·1 \\ 2·3-6·1 \\ 0 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist.
Gruß Wolfgang
