Limes/Grenzwert von Term^{3/2} ausrechnen

Question

Angabe:

$$\frac{((x+1)^{3/2}-x^{3/2})}{\sqrt{x}}= 3/2$$

Wie komme man darauf ?

$$\frac{((x+1)^{3/2}-x^{3/2})}{\sqrt{x}}= 3/2$$

$$=\frac{((x+1)*\sqrt{x+1}-x*\sqrt{x})}{\sqrt{x}}= 3/2$$

Ich sehe jetzt nicht wie ich da weiter machen könnte, habt ihr eine Idee?

Comments

Man sieht keinen Limes in deiner Aufgabe.

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$$\lim_{x\to\infty} \frac{((x+1)*\sqrt{x+1}-x*\sqrt{x})}{\sqrt{x}}= 3/2$$Wie kommt man darauf

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Zwar unschön, aber schnell gemacht: Erweitere den Bruch mit \( (x+1)\sqrt{x+1}+x\sqrt{x}\) und vereinfache soweit bist du problemlos den Grenzwert berechnen kannst.

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Ich hatte das auch schon im Sinn, aber bin mir grad Unsicher:

$$\frac{((x+1)*\sqrt{x+1}-x*\sqrt{x})}{\sqrt{x}} * \frac { (x+1)\sqrt{x+1}+x\sqrt{x} }{ (x+1)\sqrt{x+1}+x\sqrt{x} }$$

$$= \frac{((x+1)^2*(x+1)-x^2*x)}{\sqrt{x}*(x+1)\sqrt{x+1}+x\sqrt{x} }$$

Oder Doch nicht ?

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Du musst im Nenner auch \(\sqrt{x}\) mit \(x\sqrt{x}\) multiplizieren, dann stimmt es soweit.

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Also so:

$$\frac{((x+1)^{3/2}-x^{3/2})}{\sqrt{x}}$$

$$=\frac{((x+1)*\sqrt{x+1}-x*\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$$

$$\frac{((x+1)*\sqrt{x+1}-x*\sqrt{x})}{\sqrt{x}} * \frac { (x+1)\sqrt{x+1}+x\sqrt{x} }{ (x+1)\sqrt{x+1}+x\sqrt{x} }$$

$$= \frac{((x+1)^2*(x+1)-x^2*x)}{\sqrt{x}*(x+1)\sqrt{x+1}+x\sqrt{x} }$$

$$= \frac{((x+1)^2*(x+1)-x^2*x)}{\sqrt{x}(x+1)\sqrt{x+1}+x\sqrt{x}*\sqrt{x} }$$

$$= \frac{((x+1)^2*(x+1)-x^2*x)}{\sqrt{x}(x+1)\sqrt{x+1}+(x+1)*\sqrt{x} }$$

$$= \frac{(x+1)((x+1)-x)}{\sqrt{x}(x+1)\sqrt{x+1}+(x+1)*\sqrt{x} }$$

$$= \frac{((x+1)-x)}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}+\sqrt{x} }$$

Passt das so?

Denke aber ich hab mich verrechnet, weil wenn ich es im Taschenrechner eingebe bekomme ich Unedlich raus

Aber bin gefühlt nicht weiter gekommen :s

Answer 1

Das mit dem Erweitern mit
$$\sqrt { (x+1)^3 }+\sqrt { {x}^3 }$$
war schon ok.  Es gibt bei mir:

$$  \frac { {(x+1)}^3  -  {x}^3 }{ \sqrt { x }*(\sqrt {( x+1)^3 }+\sqrt { {x}^3 }) }$$$$ = \frac { x^3 +3x^2+3x+1 -  {x}^3 }{ \sqrt {x*( x+1)^3 }+\sqrt { {x}^4 }}$$$$ = \frac { 3x^2+3x+1 }{ \sqrt {x*( x^3 +3x^2+3x+1) }+ x^2}$$$$ = \frac { 3x^2+3x+1 }{ \sqrt {x^4*( 1+\frac { 3 }{ x } + \frac { 3 }{ x^2}+\frac { 3 }{ x^3 }+\frac { 1 }{ x^4 }) }+ x^2}$$$$ = \frac {x^2* (3+\frac { 3 }{ x }+\frac { 1 }{ x^2 } )}{ x^2\sqrt { 1+\frac { 3 }{ x } + \frac { 3 }{ x^2}+\frac { 3 }{ x^3 }+\frac { 1 }{ x^4 } }+ x^2}$$Dann $$x^2 $$kürzen$$ = \frac {3+\frac { 3 }{ x }+\frac { 1 }{ x^2 } }{ \sqrt { 1+\frac { 3 }{ x } + \frac { 3 }{ x^2}+\frac { 3 }{ x^3 }+\frac { 1 }{ x^4 } }+ 1}$$

Und dann passt es ja .