(z+i)^{3}=-8 berechnen

Question

Habe es ausmiltipliziert.

z^3 -2i +z^2 +8 =0

Dann i umegformt auf

z^3 +z^2 +2sqrt(-1) +8 =0

Wie weiter?

Comments

Gar nicht weiter. Dass Du keine Lösungsformel für Gleichungen dritten Grades kennst, musst Du selber wissen. Mit Ausmultiplizieren kommst Du hier zu nichts.

---

Kannst du mir bitte weiter helfen?

---

Es liegt bereits eine reine Gleichung dritten Grades vor. Die kann man direkt durch Wurzelziehen loesen.

---

Alternativ substituiere \(x=z+i\) und erhalte \(0=x^3+8=(x^2-2x+4)\cdot(x+2)\).

Answer 1

(z + i)^3 = -8

z + i = (-8)^{1/3}

Nun sollte man wissen das die 3. Wurzel ja nur eine mögliche Lösung liefert es aber 3 verschiedene Lösungen gibt. Wie liegen diese drei Lösungen im Koordinatensystem?

z + i = -2 --> z = -2 - i

z + i = 1 - √3·i --> z = 1 - (1 + √3)·i

z + i = 1 + √3·i --> z = 1 - (1 - √3)·i

Comments

Das hatte sogar am anfang gemacht das mit 3wurzel ziehen. Dachte aber es wäre falsch.

Muss aber kurz überlegen wie du restlichen 3 lösungen kammst.

Und vielen vielen dank.

---

Kannst bitte nochmal die 2 anderen lösung erklären?

---

Schau dir mal die Lösungen in der Komplexen Ebene an. Fällt dir irgendwas auf ?

---

Ich hab jetzt mal im einheitskreis den minus eingezeichnet

Und komme mit betrag w mal e hoch i mal alpha auf

Sqrt(3)e^{pi mal i}?

---

Ich hab jetzt mal im einheitskreis den minus eingezeichnet

Soll ich da jetzt verstehen was du gemacht hast?

Sei 

x^3 = -8

dann kannst du mir doch sicher eine Lösung ohne lange Nachzudenken nennen oder nicht ? Udn dann hatte ich dich gebeten dir alle 3 Lösungen in der komplexen Zahlenebene anzusehen und mir dann zu sagen ob dir etwas auffällt und wie du eventuell auf die anderen Lösungen kommen kannst.

TIPP: Die Lösung -2 lässt sich auch schreiben als 2·e^{i·pi}

---

Erste lösung ist doch -2?Ach jetzt verstehe ich wie du es gemeint hadt mit dem koordinatensystemIch soll deine angegeben lösungen in dem koprdinatensystem markieren und schsuen, was mir einfällt? ;) Mache ich sofort^^

---

Mir ist aufgefallen das sie auf einer reihe liegen.

Bis auf -2.

---

Das hier so richtig?

---

Ich dachte zuerst mal nur an die Lösung z^3 = -8

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3+%3D+-8

Du sollst dir die Lösungen ansehen. Vielleicht ein Tipp. Betrachte die Winkel im Koordinatenursprung.

Schau dir dann vielleicht auch mal die Lösung(en) von

z^5 = -32 an. Was fällt dir auf?