Von der Allgemeinen Form zur Scheitelpunktform: y(x)=2x²+10x+8

Question

Ich habe ein Problem von der Allgemeinen Form zur Scheitelpunktform.

Meine Aufgabe ist:

y(x)= 2x²+10x+8

       =2(x²⁺5x+4)

Soweit bin ich gekommen. Könnt ihr mir bitte helfen.

Comments

Siehe Video: Allgemeinform und Quadratische Ergänzung

Quelle: Lektion Mathe F06: Quadratische Funktionen (Parabeln)

 

Siehe außerdem: https://www.mathelounge.de/tag/scheitelpunktform

Answer 1

Ja, das ist schonmal ein guter Anfang. Jetzt musst du die sogenannte quadratische Ergänzung durchführen, d.h. du musst eine "geschickte 0" dazuaddieren, sodass du eine binomische Formel verwenden kannst.

2(x²+5x+4) = 2(x²+2*2.5x + 4) = 2(x² + 2*2.5x + 2.5² - 2.5² + 4)

= 2(x+2.5)² + 2(4-2.5²) = 2(x+2.5)² + 2*(-2.25)

= 2*(x+2.5)² - 4.5

 

Und das ist die Scheitelpunktform.

Answer 2

 

y(x)= 2x²+10x+8

       =2(x²⁺5x+4)              | quadr. Ergänzen

       = 2(x² + 5x + 2.5² - 2.5² + 4)

       = 2((x+2.5)² - 2.25)

        =2(x+2.5)² - 4.5 Scheitelpunktform

Scheitelpunkt S(-2.5|-4.5)

Answer 3

y(x) = 2x² + 10x + 8

Wenn man jetzt Nullstellen wissen wollte, könnte man die ABC-Mitternachsformel nehmen.

x = -b / (2·a) +- √(b^2 - 4·a·c) / (2·a)

Wenn wir jetzt nicht die Nullstellen haben wollen sondern nur den Scheitelpunkt reduzieren wir die Formel auf den ersten Teil

x = -b / (2·a) = -10 / (2·2) = -10 / 4 = -2,5

Das ist die X-Koordinate des Scheitelpunktes. Die Y-Koordinate bekommen wir durch einsetzen in y(x).

y(-2,5) = 2·(-2,5)² + 10·(-2,5) + 8 = -4,5

Der Scheitelpunkt liegt also bei S(-2,5 | -4,5)