Gebrochenrationale Funktion - Polstellen: f(x) = ((x-3)(x^2-1))/((x-1)^2(x^2-9))

Question

kann die folgende aufgabe nicht lösen. Unzwar sind die polstellen gesucht. Diese sind glaubich 3 und 1 aber wie komme ich auf die hebbaren polstellen?

f(x) = ((x-3)(x^2-1))/((x-1)^2(x^2-9))

Comments

( x - 3) * ( x^2 - 1 )
---------------------------
( x - 1 )^2 * ( x^2 - 9 )

Division durch 0 bei x = 1, x = -3, x = 3
Eventuell Polstellen.

2. und 3.binomische Formel anwenden

( x - 3) * ( x  -1 ) * ( x + 1 )
--------------------------------------------
( x - 1 ) * ( x -1 )  * ( x - 3 ) * ( x + 3 )

jetzt wird nachgeschaut was passiert wenn
lim x −> 1 geht ( Es darf dann noch gekürzt werden )

( x - 3) * ( x  -1 ) * ( x + 1 )
--------------------------------------------
( x - 1 ) * ( x -1 )  * ( x - 3 ) * ( x + 3 )

Ebenso für  lim x −> 3

( x - 3) * ( x + 1 )
----------------------------------
( x -1 )  * ( x - 3 ) * ( x + 3 )

( x + 1 )
----------------------
( x -1 )  * ( x + 3 )

x = 1 und x = -3 sind Polstellen.
x = 3 ist hebbar.
Linker und rechter Grenzwert bei x = 3 ist 4 / 12

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Danke für die ausführliche antwort. Allgemeine polstellen sind ja dann die nullstellen im nenner. Aber wie erkene ich denn das -3 eine hebbare polstelle ist. Würde mir helfen wenn du mir das noch erklären könntest.

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Allgemeine polstellen sind ja dann die nullstellen im nenner.
Können Polstellen sein !!!

Eine Lücke liegt dann vor wenn ein Funktionswert
für eine Stelle x nicht vorhanden ist.
Eine hebbare ( schließbare ) Lücke liegt dann vor wenn
z.B. der linke und der rechte Grenzwert gleich sind.
z.B. bei x = 3

Eine Polstelle ist eine Lücke  und von links oder rechts
kommend geht es nach + oder -  unendlich. siehe oben.
x = 3 ist keine Polstelle siehe Grafik.

Vorgehensweise zur Ermittlung von Polstellen.
Die x bestimmen mit denen der Nenner 0 wird : 1,-3, 3

Diese Werte in den Zähler einsetzen

Hat der Zähler einen Wert <> 0 ist es eine Polstelle
Wert / 0 = ∞
Hat der Zähler auch den Wert 0
0 / 0 = ?
kann durch Kürzung ( wie oben ) oder mit Hilfe von
L´Hospital ( hast du wahrscheinlich noch nicht
gehabt ) ob eine Polstelle oder eine hebbare
Lücke vorliegt.

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> Aber wie erkene ich denn das -3 eine hebbare polstelle ist.

Führe Polynomdivisionen des Zählers durch (x - (- 3)) durch. Wenn ein Rest bleibt, dann handelt es sich um eine Polstelle, ansonsten handelt es sich um eine hebbare Lücke.

Manchmal habe ich das Gefühl ich rede gegen eine Wand.

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Hallo Oswald,

gib dem Fragesteller doch Zeit sich in die
ungewohnte Thematik einzuarbeiten.

@Fragesteller
Frag ruhig weiter wenn etwas ungeklärt ist.

mfg Georg

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Also ehrlich gesagt, fand ich das Bild im Start nützlicher, als es noch richtig herum da stand...

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Bei mir werden alle Bilder richtig herum angezeigt.
Vielleicht weist du den Forumsbereiber
einmal darauf hin.

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Hallo Georg,

bei der Frage "Wie werden Polstellen und hebbare Lücken unterschieden" und einer Antwort "Wenn Rest bei Polynomdivision dann Polstelle, ansonsten hebbare Lücke" bin ich mit einer Gegenfrage "Was ist Polynomdivision und was ist Rest" vollkommen zufrieden. Aber nicht mit einer Gegenfrage "Wie werden Polstellen und hebbare Lücken unterschieden". Eine solche Gegenfrage hat nichts mit "Zeit sich in die ungewohnte Thematik einzuarbeiten" zu tun, sondern eher mit "Was der Bauer nicht kennt, das frisst er nicht".

Und auch der Hinweis, dass es keine hebbaren Polstellen gibt, wurde ignoriert.

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Hallo Oswald,

ich wußte direkt was der Fragesteller mit hebbarer
Polstelle gemeint hat. Grins.

Zur Wortwahl :

Ich finde z.B. den Begriff " hebbare Lücke " nicht optimal.
Was soll in die Höhe gehoben werden ?

Besser wäre es von " behebbare Lücke " oder noch
besser von " schließbare Lücke " zu sprechen.

Ich habe nichts dagegen wenn du auch in meinem
Kommentarstrang nochmals deine Antwort wiederholst.
Aber der Fragesteller hat nicht nach weiteren Eräuterungen
deiner Antwort deines Antwortstrangs  nachgefragt.

Und auch der Hinweis, dass es keine hebbaren Polstellen gibt,
wurde ignoriert.
Dann mach diesem Vorwurf dem Fragesteller direkt.

Ansonsten geht es mir darum dem FRAGESTELLER
weiterzuhelfen. Unwissend soll er nicht sterben.

mfg Georg

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> ich wußte direkt was der Fragesteller mit hebbarer Polstelle gemeint hat.

Ich auch. Jemand, der etwas weniger Erfahrung hat, wird sich aber fragen, wie es kommen kann, dass eine Funktion an einer Polstelle plötzlich stetig fortsetzbar sein soll. Und auch in der Klausur könnte es Punktabzug für unangemessenen Gebrauch der Fachsprache geben.

> Ich finde z.B. den Begriff " hebbare Lücke " nicht optimal.

Ich auch nicht. Zum Glück ist er wenigstens eindeutig definiert.

> ... in meinem Kommentarstrang ...

Das ist nicht dein Kommentarstrang.

> Aber der Fragesteller hat nicht nach weiteren Eräuterungen deiner Antwort deines Antwortstrangs  nachgefragt.

Ich habe auch keine gegeben. Ich habe die Frage "Aber wie erkene ich denn das -3 eine hebbare polstelle ist." beantwortet.

Answer 1

> Unzwar sind die polstellen gesucht

Kandidaten für Polstellen sind die Nullstellen des Nenners. Führe Polynomdivisionen des Zählers durch (x - [Nullstelle des Nenners]) durch. Wenn ein Rest bleibt, dann handelt es sich um eine Polstelle, ansonsten handelt es sich um eine hebbare Lücke.

> wie komme ich auf die hebbaren polstellen

Soetwas gibt es nicht. Du brauchst dich darum also nicht zu kümmern.

Answer 2

verwende im Zähler und Nenner die 3. binomische Formel und kürze Faktoren. Das was an Nullstellen im Nenner übrigbleibt sind Polstellen.