Extremwerte: keine Nullstelle bei der Ausgangsformel

Question

ich habe die Funktion
f(x) = 1/4x⁴ + 4/3x³ - 1/2x² - 4x + 2

daraus kann ich eine Ableitung machen (f'(x) = x³ + 4x² - x - 4) und mittels z.B. Horner Schema eine Nullstelle und dann über pq die weiteren zwei finden. Diese drei Werte sind - wenn ich das richtig verstehe - dann meine drei Punkte auf der x-Koordinate, die Extremwerte.

Aber wie bestimme ich die Nullstellen der Ausgangsformel? Laut meines Taschenrechners gibt es für f(x) keine Nullstelle oder bei anderen Formeln komme ich am Ende nicht auf 0. Aber ich brauche doch die Nullstellen, um den Graphen nachher richtig zeichnen zu können (wann es steigt und fällt).

Auf meinem Blatt, wo ich mit der Formel arbeite, habe ich auch nur die Ableitung (und dann die hinreichende Bedingung) stehen, aber die Nullstellen zur Formel f(x) sind nirgends zu finden. Das ist auch bei anderen Aufgaben so. Allerdings wusste ich zu dem Zeitpunkt und auch jetzt nicht, warum man diese einfach weglassen kann bzw. warum es zu der Formel keine Nullstelle gibt.

In nochmals anderen Aufgaben jedoch habe ich sowohl die Ableitungen als auch die Nullstellen.

Was bedeutet es also, wenn ich bei einer Formel f(x) keine Nullstelle finde? Kann ich diese dann weglassen? Und wie zeichnet man dann den Graphen?

Comments

Lass dir das von einem Plotter aufzeichnen:

~plot~ 1/4 x^4 + 4/3 x^3 - 1/2 x^2 - 4x + 2 ~plot~

Es gibt also einige Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse). Die Frage ist noch, ob du sie überhaupt berechnen kannst/sollst. Aber wenn du die Hoch- und Tiefpunkte und die Wendepunkte ausgerechnet hast, kannst du die ja einzeichnen und dann ungefähr verbinden.

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Da wir noch nicht mit Wendepunkten gearbeitet haben gehe ich mal davon aus, dass wir dann keinen Graphen zeichnen müssen.

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Du hast offenbar die beiden Tief- und den Hochpunkt berechnen können. Dann kannst du die auch einzeichnen und "sinnvoll" zu einer Wellenlinie (wie die blaue) verbinden.

Answer 1

Du kannst auch eine Wertetabelle machen

[-10, 1158.666666;
-9, 665.75;
-8, 343.3333333;
-7, 148.4166666;
-6, 44;
-5, -0.9166666666;
-4, -11.33333333;
-3, -6.25;
-2, 1.333333333;
-1, 4.416666666;
0, 2;
1, -0.9166666666;
2, 6.666666666;
3, 41.75;
4, 127.3333333;
5, 292.4166666;
6, 572;
7, 1007.083333;
8, 1644.666666;
9, 2537.75;
10, 3745.333333]

Zwischen jeweils einem positiven und einem negativen Wert muss mind eine Nullstelle sein

Also zwischen -6 und -5
zwischen -3 und -2
zwischen 0 und 1
und zwischen 1 und 2.

Mit etwas Mühe, Geduld und genaueren Wertetabellen in diesen Bereichen kannst du die Nullstellen beliebig genau bestimmen.

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Danke, darauf bin ich gar nicht gekommen! Merke auch jetzt erst, dass ich bei der table auch kleinere Schritte machen kann. Sehr nützlich!