Bestimme die Extremwerte der Funktion

Question

Aufgabe:

Man bestimme die Extremwerte der Funktion
z=e^xy unter NB x+y=4.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...$$z(x,y)=e^{xy}\quad;\quad x+y=4$$Wir ersetzen mit Hilfe der Nebenbedingung \(y=4-x\) und erhalten als Ersatzfunktion:$$f(x)\coloneqq z(x,4-x)=e^{x(4-x)}=e^{4x-x^2}$$Die Kandidaten für Extremwerte finden wir bei den Nullstellen der ersten Ableitung:$$0\stackrel!=f'(x)=e^{4x-x^2}\cdot(4-2x)\quad\implies\quad x=2$$Da die \(e\)-Funktion stets positiv ist, kann nur der eingeklammerte Faktor zu null werden. Wir haben also nur einen einzigen Kandidaten bei \(x=2\). Wir prüfen noch kurz die Art des Exremums:$$f''(x)=e^{4x-x^2}\cdot(4-2x)^2+e^{4x-x^2}\cdot(-2)=e^{4x-x^2}(14-16x+4x^2)\implies$$$$f''(2)=-2e^4<0\implies\text{Maximum}$$Die Funktion \(z(x,y)\) hat ein Maximum bei \((2|2)\) und es gilt \(z(2;2)=e^4\).

Answer 2

\(f(x)\coloneqq z(x,4-x)=e^{x(4-x)}=e^{4x-x^2}\) lässt sich auch ohne Ableitung auf Extremstellen untersuchen. Da f(x)=e^x monoton wachsend ist, ist der Funktionswert maximal/minimal, wenn der Exponent maximal/minimal ist.

Der Exponent x(4-x) lässt sie durch eine nach unten geöffnete Parabel darstellen, deren Scheitelpunkt zwischen den Nullstellen bei x=2 liegt.

Die Funktion z(x,4-x) hat also ein Maximum bei x=2, so mit hat f(x,y) das Maximum bei (2;2).