Wie rechnet man 2x^2=11x+6 aus?

Question

Schreibe die Gleichung zunächst so um, dass auf der linken Seite der Gleichung ein Polynom steht. Faktorisiere anschliessend und notiere die Lösungsmenge.

Answer 1

$$ 2x^2=11x+6\\2x^2-11x-6=0\\(2x+1)(x-6)=0\\{ x }_{ 1 }=-\frac { 1 }{ 2 }\\{ x }_{ 2 }=6 $$

Answer 2

Die Frage könnte jetzt natürlich heißen: "Wie kommt man auf diese Faktorenzerlegung?" Bei quadratischen Polynomen gibt es insbesondere zwei Mölichkeiten:

1. Löse die quadratische Gleichung 2x²-11x-6=0 und erhalte die Lösungen x₁ und x₂. Dann ist a(x-x₁)(x-x₂) eine Zerlegung in Faktoren (a ist hier 2).

2. Zerlege sowohl 2x² als auch 6 in zwei Faktoren. Ein Faktor von 2x² und ein Faktor von 6 stehen dann zusammen in einem Linearfaktor. Da gibt es natürlich verschiedene Möglichkeiten. Für die Entscheidung, welche die richtige ist, vergleicht man das mittlere Glied 11x mit einer Kontrollrechnung.Im Beispiel kann 2x² = 2x·x gelten und -6=6·(-1). Jetzt kann man zum Beispiel die Linearfaktoren (2x-1) und (x+6) bilden. Das Produkt (2x-1)·(x+6) lautet aber ausgerechnet 2x²-x+12x-6. Mit etwas Erfahrung weiß man jetzt, dass (2x+1)·(x-6) die richtige Lösung ist. Die Anzahl der Möglichkeiten ist überschaubar und durch Erfahrung reduzierbar.