Damit das eine ordentliche Potenzreihe wird
f(x) = -1/16 * Summe k=0 bis unendlich 6(k+1)*6k * ( x - 2/3 ) k
f ' (x) = -1/16 * Summe k=1 bis unendlich 6(k+1)*6k * k * ( x - 2/3 ) k-1
f ' (3/4) = -1/16 * Summe k=1 bis unendlich 6(k+1)*6k * k * ( 3/4 - 2/3 ) k-1
= -1/16 * Summe k=1 bis unendlich (k2+k)*6k+1 * ( 1/12 ) k-1
= -1/16 * Summe k=1 bis unendlich (k2+k)*36* ( 6/12 ) k-1
= -36/16 * Summe k=1 bis unendlich (k2+k) ( 1/2 ) k-1
Jetzt erst mal allgemein überlegen ( geo. Reihe)
1 / ( 1-x) = Summe k=0 bis unendlich x
k ( für |x| < 1 )
Ableiten gibt
1 / ( 1-x)
2 = Summe k=1 bis unendlich k* x
k-1 ( für |x| < 1 ) nochmal
2/ ( 1-x)
3 = Summe k=2 bis unendlich k(k+1)* x
k-2 ( für |x| < 1 )
Für k = 1/2 passt das schon fast , nur noch etwas umformen: