Ableitung einer Potenzreihe

Question

zu unten stehender Potenzreihe soll ich f´ in U_pf(x_f) ∩ R:  f´(0,75) bestimmen.

Meine Idee wäre gewesen, die Folge normal abzuleiten und x einzusetzen. Hierbei bin ich mir allerdings nicht schlüssig. Bzw. muss doch sicher der Konvergenzradius eine Rolle spielen. Kann mir hierbei jemand weiterhelfen?

Vielen Dank und viele Grüße

Jonas

Answer 1

Damit das eine ordentliche Potenzreihe wird

f(x) = -1/16  *  Summe k=0 bis unendlich  6(k+1)*6^k * ( x - 2/3 ) ^k 

f ' (x)  = -1/16  *  Summe k=1 bis unendlich  6(k+1)*6^k * k * ( x - 2/3 ) ^k-1 

f ' (3/4)  = -1/16  *  Summe k=1 bis unendlich  6(k+1)*6^k * k * ( 3/4 - 2/3 ) ^k-1 

= -1/16  *  Summe k=1 bis unendlich  (k²+k)*6^k+1 * ( 1/12 ) ^k-1 

= -1/16  *  Summe k=1 bis unendlich  (k²+k)*36* ( 6/12 ) ^k-1 


= -36/16  *  Summe k=1 bis unendlich  (k²+k) ( 1/2 ) ^k-1 

Jetzt erst mal allgemein überlegen ( geo. Reihe)

1 / ( 1-x) = Summe k=0 bis unendlich  x ^k         ( für |x| < 1 )

Ableiten gibt 

1 / ( 1-x)² = Summe k=1 bis unendlich k* x ^k-1         ( für |x| < 1 ) nochmal  

2/ ( 1-x)³ = Summe k=2 bis unendlich k(k+1)* x ^k-2         ( für |x| < 1 )   

Für k = 1/2 passt das schon fast ,  nur noch  etwas umformen: