Wie kann man die Potenzreihe ∑ x^{k+1} ableiten?

Question

Ich habe Probleme mit dem Ableiten von Reihen. Die Aufgabe lautet:

Es sei x ∈(-1,1)

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty}{ x^{k+1} } \)

Gibt es da eine bestimmte Vorgehensweise, denn ehrlich gesagt, hat mich das Skript nicht weitergebracht.

Answer 1

Hallo Gamer00,
schreib Dir doch die Reihe auf.
Die Reihe sieht doch so aus: x^1 + x^2 + x^3 + ... + x^k + x^{k+1}
Dann ist die Ableitung 1 + 2x + 3x^2 + ... + kx^{k-1} + (k+1)x^k
Bzw. in Summenschreibweise
$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left(\sum_{k=0}^{\infty} x^{k+1} \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \left(k+1  \right)x^{k}$$
Beste Grüße
gorgar

Comments

Das funktioniert quasi fast  wie die Ableitungen die man sonst macht. Ok Danke

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Wie gehe ich denn mit dem Intervall um?

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Du meinst den Konvergenzbereich? 

An dem sollte sich eigentlich nichts ändern, wenn du ableitest. 

Gegeben ist ja eine geometrische Reihe, die aber nicht mit 1+... sondern mit x+ .... beginnt. 

Nimm die Summenformel und leite diese (den Bruch) ab. Solange es im Intervall (-1,1) keine Definitionslücken der Ableitung gibt, ist das dann vermulich ok. 

Answer 2

Summen leitet man summandenweise ab und Reihen gliedweise. Ich finde solche Fragen immer erstaunlich. Vor Abel hat das jeder für absolut selbstverstaendlich gehalten und Du kommst nicht mal drauf.

Comments

Ich finde solche antworten kann man sich sparen. Wenn du mal Hilfe in irgendetwas benötigst, ist es für dich genau so unhilfreich, wenn jemand erst lustig sein will und dich anmacht.
Entweder helfen oder raushalten, so ist das Forum konzipiert.

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" Summen leitet man summandenweise ab und Reihen gliedweise. "

Das ist genau das, was in der andern Antwort gemacht wurde. Den Rest in dieser Antwort ignorierst du besser. 

Berechtigt ist die Frage, da es sich um einen Summe mit unendlich vielen Summanden handelt. Warum soll das den Konvergenzbereich nicht beeinflussen? In der Regel wird so was im Unterricht angesprochen / gezeigt. 

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Also gerade wenn man aus der Vorlesung nichts mitgenommen hat und die Sache ganz naiv angeht, muesste man eigentlich ohne mit der Wimper zu zucken $$\frac{d}{dx}(x+x^2+x^3+\cdots)=1+2x+3x^2+\cdots$$ hinschreiben und fertig. Was sonst? Wenn Deine kuenstliche Aufregung abgeklungen ist, kannst Du Dich ja selber mal fragen, warum Du das nicht einfach so gemacht hast. Kannst Du mit dem Summenzeichen nichts anfangen oder was ist das Problem?