eindeutigkeit der exponentialfunktion

Question

Kann mir jemand bitte helfen wie ich die Aufgabe angehen soll?

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Ich habe Probleme bei meinen Hausaufgaben.

Ich habe bewiesen, dass folgende Reihe Konvergent ist:
$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ k! }  } { y }^{ k } $$

(analog auch für x^k)

und dass exp(x) * exp(y) = exp(x+y) ist.

Nun soll ich noch zeigen, dass exp(x) ≠ 0 für jedes x ∈ℝ ist, und das exp(x) > 0 ist.

Aber da fehlt mir nun jeglicher antrieb, und ich habe eine regelrechteDenkblockade. :(
Also für exp(x) >0 könnte ich vielleicht den Grenzwert ermitteln, aber leider bin ich mir nicht sicher bei der Rechnung.

Ich hoffe auf Eure hilfe, und schon mal

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Antwort gibt es hier

https://www.mathelounge.de/408256/eindeutigkeit-der-exponentialfunktion

Answer 1

Wenn \(f\) eine Nullstelle \(\xi\) hat, dann verschwindet \(f\) wegen $$f(x)=f(x-\xi+\xi)=f(x-\xi)f(\xi)$$ identisch. Wegen \(f(1)=a>0\) kommt diese Moeglichkeit nicht in Betracht und wegen $$f(x)=\left[f\left(\frac{x}{2}\right)\right]^2$$ gilt \(f(x)>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) und \(f(0)=1\).

Seien jetzt \(f\) und \(g\) zwei Funktionen, die beide die Voraussetzungen erfuellen. Setze $$\phi(x):=\frac{f(x)}{g(x)}.$$ Jetzt bist Du dran. Zeige, dass \(\phi\) die Voraussetzungen mit \(a=1\) erfuellt, dass also $$\phi(0)=\phi(1)=1$$ und damit auch $$\phi(2^k)=1\quad\text{fuer alle $k\in\mathbb{Z}$}$$ ist. Schreibe ein beliebiges \(x\in\mathbb{R}\) in Binaerdarstellung \(x=\sum2^{k_i}\) und folgere mit der Stetigkeit \(\phi(x)=1\).