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F(x) = x3    X0    Ist gleich 1
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Hallo Pia,

für beliebiges x0

f '(x0)  =  limx→xo  \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)  =  limx→xo  \(\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}\)  =   limx→xo  \(\frac{(x-x_0)·(x^2+x_0·x+x_0^2)}{x-x_0}\)

             =  limx→xo ( x2 + x0 ·x + x02)    =    3x02   →   f '(1) = 3   

direkt für x0 = 1

f '(1)  = limx→1  \(\frac{x^3-1}{x-1}\)  =  limx→1  \(\frac{(x-1)·(x^2+ x+1)}{x-1}\)  =  limx→1 (x2 + x + 1)    = 3

Den Term x2 + x + 1 erhältst du durch die Polynomdivision  (x3 - 1) : (x-1) = x2 + x + 1 :

(x3               - 1) : (x - 1)  =  x2 + x + 1

 x3  - x2

 ————————————————————

        x2        - 1

        x2  - x

        —————————————

               x   - 1

               x  - 1

               ——————

                    0

Gruß Wolfgang

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