Hallo Pia,
für beliebiges x0
f '(x0) = limx→xo \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) = limx→xo \(\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}\) = limx→xo \(\frac{(x-x_0)·(x^2+x_0·x+x_0^2)}{x-x_0}\)
= limx→xo ( x2 + x0 ·x + x02) = 3x02 → f '(1) = 3
direkt für x0 = 1
f '(1) = limx→1 \(\frac{x^3-1}{x-1}\) = limx→1 \(\frac{(x-1)·(x^2+ x+1)}{x-1}\) = limx→1 (x2 + x + 1) = 3
Den Term x2 + x + 1 erhältst du durch die Polynomdivision (x3 - 1) : (x-1) = x2 + x + 1 :
(x3 - 1) : (x - 1) = x2 + x + 1
x3 - x2
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x2 - 1
x2 - x
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x - 1
x - 1
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Gruß Wolfgang