Ist die matrizenmultiplikation von drehmatrizen kommutativ? Kleiner Beweis

Question

Hat jemand eine ungefähre Ahnung wie man vorgeht bzw. einen kleinen Ansatz?

Answer 1

bekanntlich - und vor allem nach Voraussetzung! - wird durch Multiplikation mit einer solchen Matrix ein Vektor um einen Winkel φ₁ gedreht. Tut man das mit dem Ergebnisvektor ein zweites Mal mit einem Winkel φ₂ ,  dann hat man insgesamt eine Drehung um den Winkel φ₁ + φ₂ .

Offensichtlich ist die Reihenfolge dabei unerheblich.

Die Matrizenmultiplkation

⎡ COS(a)  - SIN(a) ⎤    *   ⎡ COS(b)      - SIN(b) ⎤

⎣ SIN(a)   COS(a)  ⎦         ⎣ SIN(b)        COS(b)  ⎦

 =   ⎡ COS(a)·COS(b) - SIN(a)·SIN(b)     - COS(a)·SIN(b) - SIN(a)·COS(b) ⎤

      ⎣ COS(a)·SIN(b) + SIN(a)·COS(b)       COS(a)·COS(b) - SIN(a)·SIN(b)  ⎦

bestätigt folgerichtig die Vertauschbarkeit  von  a und b  ( → Kommutativität)

In den Termen der Ergebnismatrix findet man dann logischerweise die "rechten Seiten" der Additionstheoreme für cos und sin

Gruß Wolfgang

Answer 2

sei \(A_\varphi\) eine solche Drehmatrix zu \( \varphi \in [0, 2\pi)\).

Überprüfe ob für alle \( \varphi, \gamma \in [0, 2\pi) \) gilt: \(A_\varphi \cdot A_\gamma = A_\gamma \cdot A_\varphi \).

Gruß,

Comments

Bin etwas irritiert, also ich habe ja phi aber woher kommt das gamma? Oder setze ich in eine Matrix überall z.b pi und in der anderen überall 2pi ein?

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Das sind zwei beliebige Drehwinkel aus dem Intervall von 0 (einschließlich) bis 2*pi.

Answer 3

Ist es nicht egal ob etwas zunächst um α Grad und dann um β Grad gedreht wird oder anders herum?

[COS(a), - SIN(a); SIN(a), COS(a)] * [COS(b), - SIN(b); SIN(b), COS(b)]

= [COS(a)·COS(b) - SIN(a)·SIN(b), - COS(a)·SIN(b) - SIN(a)·COS(b); COS(a)·SIN(b) + SIN(a)·COS(b), COS(a)·COS(b) - SIN(a)·SIN(b)]

= [COS(a + b), - SIN(a + b); SIN(a + b), COS(a + b)]

Nun ist aber die Addition kommutativ.