Grenzwert bei dieser Folge bestimmen

Question

an:=(n-√n)/(n+√n)

Ich habe erst die 3. bin. Formel angewandt. Dann kommt raus

(n^2-n)/(n^2+n+2n*√n)

dann habe ich die n^2 ausgeklammert und erhalte

(1-(1/n))/(1+1/n+2/n*√n)

Jetzt frage ich mich ob ich die Granzwertsätze anwenden kann, da mich die 2/n*√n stören.

Ich dachte jedes Teil der Folge muss konvergieren...die 2/n konvergieren ja gegen 0 aber √n konvergiert ja gegen unendlich...kann mir jemand sagen warum ich die Sätze trotzdem anwenden kann...wenn ich es mache käme 1 heraus und das wäre richtig.

Answer 1

Hi,

Du kannst eigentlich direkt 1 ablesen, da Du nur die Koeffizienten der höchsten Potenzen von je Zähler und Nenner anschaust. Ist das nicht klar, so kürze mit n ;).

Grüße

Comments

Danke:) Ja das ist einleuchtend...nur sollen wir das exakt mit den Grenzwertsätzen zeigen...aber ich kann ja nicht sagen, lim 2/n=0 * lim √n= ∞         und dann 0*∞=0...

Jetzt nur als Bsp. für das im Nenner was ich nicht verstehe

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Das mit dem Gesagten geht ja auch über die Grenzwertsätze, wenn Du mit n kürzt und Summandweise anschaust ;).

Das von Dir gezeigte Beispiel würde so in der Tat nicht weiterhelfen, allerdings hättest Du mit den Potenzgesezten vereinfachen können. Oder es ist auch offensichtlich, dass n "mächtiger" ist als √n ;).

Answer 2

Du könntest n ausklammern und dann kürzen...

Answer 3

Jetzt frage ich mich ob ich die Granzwertsätze anwenden kann, da mich die 2/n*√n stören.

Die  2/n*√n   sind ja eigentlich   2/(√n)   also ein Bruch, bei dem der Nenner gegen unendlich

geht und der Zähler  2 ist.   Damit geht der ganze Bruch gegen 0. Der

Pfiff bei den Grenzwertsätzen ist doch, dass der Grenzwert  von

(1-(1/n))/(1+1/n+2/√n) 
dann    (  1  - 0 )  /  (  1 +  0  +  0  )  ist, also 1.