Aufgabe Känguru-Wettbewerb

Question

Wenn die reellen Zahlen x und y der Gleichung x^2+y^2=1 genügen, dann ist der maximale Wert des Produktes xy gleich?

Comments

Aus Symmetriegründen muss x = y sein, also x·y = x² = \(\frac12\).

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Im Lösungsheft zu der Aufgabe steht ein Ansatz mit (x-y)^2 >= 0 . Weiß jemand wie man darauf kommt?

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der Ansatz ist etwas gemein, weil er nicht offensichtich ist. Wichtig bei Beweisen ist die Richtung weil Du nicht immer äquivalente Gleichungen hast, und deshalb die Reihenfolge der Berechnung nicht einfach ändern darfst.

Du startest bei

$$ (x-y)^2 \geq 0 $$

Das ist offensichtlich wahr, weil Quadrate immer \(\geq 0 \) sind. Ausrechnen:

$$ x^2-2xy+y^2 \geq 0 $$

Wegen \( x^2+y^2 = 1 \) dann:

$$ 1-2xy \geq 0 $$

$$ -xy \geq -{1\over 2} $$

$$ xy \leq {1\over 2} $$

Damit ist \(xy\) immer kleiner als \( {1\over2} \), und das ist Dein Maximum.

Der Vorteil dieser Rechnung besteht darin, dass Du ohne Analysis und Ableitungen auskommst.

Grüße,

M.B.

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Ok vielen Dank. Doch wie kommt man überhaupt auf diesen Ansatz?

LG jd

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Alternative : substituiere  x = cos φ  ,  wegen x^2 + y^2  =  1  dann  y = sin φ  (Vorzeichen wegen Maximalitätsbedingung)  und erhalte  x·y  =  cos φ · sin φ  =  0,5·sin 2φ  ≤  0,5 .

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das Problem grundsätzlich ist, dass Du normalerweise, wenn Du \(A \Rightarrow Z \) beweisen sollst, eigentlich \( Z \Rightarrow A \) beweist. Das macht man bedauerlicherweise oft selbstverständlich, ohne nachzudenken.

Falls Äquivalenz gilt, also \( A \Leftrightarrow B \Leftrightarrow C \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow Z \) geht das auch. Falls nur ein einziges Mal ein \( \Rightarrow \) in der Kette vorkommt, hast Du Probleme.

Du musst also mit einer immer wahren Aussage beginnen und dann auf Dein Problem folgern (und nicht andersherum, wie oft gemacht).

Zu Deiner Frage: Womit start man nun?

Intuition, Erfahrung, Geistesblitz, göttliche Eingebung.

Grüße,

M.B.

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Hallo gast hj2166,

wie schön, dass wir immer alle trigonometrischen Umrechnungsformeln auswendig wissen. Wahrscheinlich ist es Deiner Genialität entgangen, dass Formelsammlungen im Känguru-Wettbewerb verboten sind.

Grüße,

M.B.

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Ok vielen Dank für die Antworten :)

Grüße jd

Answer 1

und wenn wir nicht primitiv-dumm raten, sondern rechnen, ergibt sich:

$$ x^2+y^2 = 1 \iff y^2 = 1-x^2 $$

$$ f(x) = xy $$

$$ g(x) = x^2y^2 = x^2(1-x^2) $$

$$ g'(x) = (2-4x^2)x $$

$$ x_{1;2} = 0,~ x_{3;4} = \pm{1\over\sqrt2} $$

$$ y_{1;2} = \pm1,~ x_{3;4} = \pm{1\over\sqrt2} $$

$$ xy = {1\over2} $$

Grüße,

M.B.

Answer 2

Hm, wenn ich mich nicht vertan habe, entspricht das Produkt dem Inhalt eines in den Einheitsviertelkreis einbeschriebenen Rechtecks. Das größte davon müsste den Inhalt 1/2 FE besitzen.