Wie ist die Matrix Definitheit

Question

hab folgende Aufgabenstellung:

Sei A eine nxn Matrix. Welche Aussage ist richtig

A- Wenn die Matrix negativ definit ist, dann hat die Matrix mehr negative Hauptminoren als positive Hauptminoren

B- Wenn die Determinante von A negativ ist, dann ist A indefinit

C- Wenn die Determinante von A negativ ist, dann kann A indefinit sein

D- Wenn die Matrix positiv definit ist, dann ist die Anzahl von positiven Hauptminoren gerade

Antwort A und D habe ich ausgeschlossen, weil keine Aussagen über alternierende Vorzeichen getroffen wurden. Meine Lösung war daher Antwort B, weil die Definition von Indefinitheit sagt: Determinante < 0 = indefinit. 

Ist das so richtig ???

Answer 1

die Definitheit ist definiert als \( x^TAx \).

Da dieses aber in der Praxis kaum funktioniert, hast Du viele andere Kriterien (die weitgehend in der Praxis aber auch nicht funktionieren).

Deine Behauptungen oben sind (teilweise) falsch.

Grüße,

M.B.

Comments

Danke für deine Antwort.

War eine alte Klausuraufgabe. Fand die Aufgabenstellung schwierg und bin mir deswegen total unsicher welche der Antworten stimmen soll.

---

du hast oben einige Begriffe.

Überlege, was ein (Haupt-, Unter-, Neben-, was-auch-immer-) Minor ist, und was er mit Definitheit zu tun hat.

Was ist eine Determinante, und was hat sie mit Definitheit zu tun?

Wie hängen positive und negative Definitheit zusammen?

Etc.

Grüße,

M.B.

---

Was ich dazu gelernt und aufgeschrieben habe:

Hauptminor positiv / Nebenminor positv   = positv definit (Minimum)

Hauptminor positv / Nebenminor negativ = negativ definit (Maximum)

Hauptminor negativ = indefinit (Sattelpunkt)

---

Also Hauptminor (=Determinante), dann wenn negativ lt. Definiton: indefinit ???

---

es geht um Definitheit von irgendwelchen Matrizen.

Du hast nicht nur einen Haupt-/Nebenminor, sondern eventuell viele.

Der Begriff Sattelpunkt spielt hier (erst einmal) überhaupt keine Rolle, sondern (vielleicht) nur in dem Zusammenhang, weshalb Du die Definitheit wissen wilst.

Grüße,

M.B.

---

Ok. habs glaub ich verstanden.

Richtige Antwort wäre dann C gewesen...

Wenn die Determinante von A negativ ist, dann kann A indefinit sein

weil keine Aussage über die größe der Matrix gemacht wurde.

---

wenn Du es verstanden hast, dann

(a) erkläre / beantworte die von mir gestellen Begriffe / Fragen.

(b) Begründe Deine Antwort von gerade eben.

Grüße,

M.B.

---

a.) bei einer 2x2 Matrix reicht es wenn die Det. negativ ist um indefinit zu sein

     bei einer 3x3 Matrix muss der 1x1 Matrix negativ und 2x2 Matrix positiv sein um indefinit zu sein

b.) bei der Aussgangsfrage: Sei A eine n x n Matrix ist nicht gegeben ob es sich um eine 3x3 oder        2x2 Matrix handelt deswegen nur das kann indefinit sein

---

falsch.

Was sind Minoren? Was sind Determinanten? Was hat das mit Definitheit zu tun? Etc.

Was machst Du bei 4x4- oder 5x5- oder allgemein nxn-Matrizen?

Grüße,

M.B.