Matrizenrechnung Regeln an Beispiel

Question

hallo erstmal und frohe weihnachten an euch alle ;-),

ich habe ein paar fragen zur Matrizenrechnung. Die genaue frage befindet sich im anhang. (Bild)

1) Wann weiss ich, dass der Ausdruck Sinn macht bzw. was sind hierfür die genauen Regeln  ?

2) Was bedeutet das hoch T und welchen einfluss hat das für die Rechnung?
3) Wie rechne ich matrizen an einem Beispiel?

Answer 1

Vektoren können als Matrix mit einer einzigen Spalte (Spaltenvektoren) oder Zeile (Zeilenvektoren) aufgefasst werden.

Matrizen können von links mit Zahlen multipliziert werden.

Matrizen können nach dem Schema ℝ^p×q · ℝ^q×r → ℝ^p×r multipliziert werden. Dabei bedeutet ℝ^n×m, dass die Matrix n Zeilen und m Spalten hat. Das heißt, zum Beispiel eine 3×5-Matrix kann mit einer 5×4-Matrix multipliziert werden und Ergebnis ist eine 3×4-Matrix. Beachte dabei, dass das Vertauschungsgesetz nicht gilt. Im Allgemeinen ist nicht A·B = B·A und es kann sogar sein, dass das eine Sinn ergibt und das andere nicht.

Matrizen können addiert werden, wenn die Summanden die gleiche Anzahl von Zeilen und die gleiche Anzahl von Spalten haben.

Das ^T steht für "transponiert", das heißt Zeilen und Spalten werden vertauscht. Zum Beispiel ist \( \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix} \)

Comments

Hallo oswald. Bei Aufgabe i) bin ich mir unsicher. Darf man eine reelle Zahl und eine 1x1 Matrix miteinander addieren?

Vielleicht kannst du da helfen.

Answer 2

Hier meine Kontroll-Lösungen. Wobei ich mir bei Aufgabe i) unsicher bin ob es definiert ist.

a) A⋅x ist nicht definiert.

Spaltenanzahl von A stimmt nicht mit Zeilenanzahl von x überein.

b) 2⋅B⋅x = [6; 4; 10; 0]

c) y⋅A ist nicht definiert.

Spaltenanzahl von y stimmt nicht mit Zeilenanzahl von A überein.

d) z⋅y = [-1, -2, -3; 0, 0, 0; 1, 2, 3; -2, -4, -6]

e) A + B^T ist nicht definiert.

Spaltenanzahl von A stimmt nicht mit Spaltenanzahl von B^T bzw. mit Zeilenanzahl von B überein.

f) B⋅A = [1, 4, 0; 0, 4, 2; 3, 4, -4; -1, 2, 3]

g) y⋅y ist nicht definiert.

Spaltenanzahl von y stimmt nicht mit Zeilenanzahl von y überein.

h) z⋅z^T = [1, 0, -1, 2; 0, 0, 0, 0; -1, 0, 1, -2; 2, 0, -2, 4]

i) 3 - x^T⋅x Hier bin ich unsicher 3 ist eine reelle Zahl und x^T⋅x ist eine 1x1 Matrix. Ich weiß nicht ob man das addieren bzw. Subtrahieren darf. Wenn ja dann 3 - 5 = -2

j) A⋅y^T = [2; 7]

Comments

hallo und vielen Dank für deine Antwort.

Mir ist aber noch unklar, wie ich bestimme, ob die Ausdrücke definiert sind.

Bzw. Was  heißt in diesem zusammenhang definiert und wie bestimmt man es?

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Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Dann ist die Multiplikation definiert. Ansonsten nicht.

Answer 3

\( x^Ty \) bzw. \( x^Tx \) sind alternative Schreibweisen für Standardskalarprodukt, bzw. Standardnorm. Das Ergebnis ist deshalb eine Zahl und keine Matrix.

\(3\) ist vorerst nur eine natürliche, und keine reelle Zahl.

Grüße,

M.B.