Wie wende ich die Sigma-Regeln in diesem Beispiel an?

Question

Aufgabe:

Zum Geburtstag bucht Person A einen Raum für 100 Personen. Aus Erfahrung weiß sie, dass lediglich ca. 70% davon auftauchen werden und lädt dementsprechend mehr Leute ein. Wie viele darf sie einladen damit höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% mehr Leute kommen, als in den Raum passen würden? Wende die Sigma-Regeln an.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Sigma-Regel leider nicht genau verstanden und habe dementsprechend keinen Ansatz um eine Rechnung durchzuführen.

Answer 1

Sei μ der Erwartungswert und σ die Standardabweichung der Anzahl der Geburtstagsgäste.

Eine Sigmaregel besagt, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% die Anzahl der Geburtstagsgäste

        zwischen μ - 1,64⋅σ und μ + 1,64⋅σ

beträgt. Die verbleibenden 10% verteilen sich ungefähr auf

        5% Wahrscheinlichkeit für weniger als μ - 1,64⋅σ Gäste

        5% Wahrscheinlichkeit für mehr als μ + 1,64⋅σ Gäste.

mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% mehr Leute kommen, als in den Raum passen würden?

Das ist der Fall, wenn

(1)        μ + 1,64⋅σ = 100

ist. Wegen Binomialverteilung ist

(2)        μ  = n·p

(3)        σ = √(n·p·(1-p))

dass lediglich ca. 70% davon auftauchen werden

Dann ist p = 0,7. Setze in (2) und (3) ein. Setze das Ergebnis dann in (1) ein. Löses die Gleichung nach n auf.

Comments

Okay, danke. Das werde ich gleich mal ausprobieren. Eine Verständnisfrage hätte ich noch zu der Sigma-Regel: wie kommst du auf die 90% und die 1,64 in der Rechnung?

Bzw. ist diese Sigma-Regel allgemein gültig oder bezieht sie sich nur auf die Werte in der Aufgabe?

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Ah, ich glaube, ich habe es verstanden.

Da es um 5% in der Aufgabe geht und sich diese auch auf der anderen Seite wiederfinden gilt 100% - 10%, daraus ergeben sich die 90% der Sigma-Regel. Und 1, 64 ist der Faktor bei der Sigma-Regel mit 90%. Soweit richtig?

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wie kommst du auf die 90%

Die Wahrscheinlichkeit, dass zu viele Gäste kommen, soll 5% sein.

Die Sigmaregeln sagen etwas aus über ein Intervall, das symmetrisch um μ liegt.

Damit rechts des Intervalls 5% liegen, müssen links des Intervalls auch 5% liegen. Im Intervall liegen dann 90%.

und die 1,64

Die kommt aus der Sigmaregel für 90%. Diese lautet:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% liegt die Anzahl der Erfolge

        zwischen μ - 1,64⋅σ und μ + 1,64⋅σ.

ist diese Sigma-Regel allgemein gültig

Sigma-Regeln sind eine Näherungslösung. Diese Näherungslösung wird als hinreichend gut eingestuft, wenn die sogenannte Laplace-Bedingung

        σ ≥ 3

erfüllt ist. Es gibt verschiedene Sigma-Regel für verschiedene Intervalle, siehe Formelsammlung Stochastik, σ-Regeln.

Soweit richtig?

Ja.

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μ  = n·p = 70

σ = √(n·p·(1-p)) = 4,5826

μ + 1,64⋅σ = 100

77,5155 = 100  -> 100 - 77,151 = 22,4845

Sie darf 122,4845  Personen einladen damit die Wahrscheinlichkeit, dass zu viele kommen bei höchstens 5% liegt.

Ist das richtig so?

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μ  = n·p = 70

n ist die Anzahl der Leute, die eingeladen werden.

n ist unbekannt.

n soll bestimmt werden.

Dann ist p = 0,7. Setze in (2) und (3) ein.

(2')        μ = 0,7n

(3')        σ = √(n·0,7·(1-0,7)) = √(0,21n)

Setze das Ergebnis dann in (1) ein.

(1')        0,7n + 1,64⋅√(0,21n) = 100

Löses die Gleichung nach n auf.

\(\begin{aligned} 0,7n+1,64\sqrt{0,21n} & =100 &  & -0,7n\\ 1,64\sqrt{0,21n} & =100-0,7n &  & |:1,64\\ \sqrt{0,21n} & =60,9765-0,4268n &  & |\square^{2}\\ 0,21n & =\left(60,9765-0,4268n\right)^{2} \end{aligned}\)

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Ach, klar. Ich hatte für n noch die 100 Gäste im Kopf. Vielen Dank.

Jetzt hänge ich aber beim nach n auflösen. Ich habe die rechte Seite ausmultipliziert, also:

0,21n = 0,1822n^2 - 52,2596n + 3718,1336

Aber wie werde ich denn jetzt die n^2 los? Wenn ich minus 0,21n rechne, würde es sich für die PQ Formel anbieten, aber dann habe ich zwei Ergebnisse, oder nicht?

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Wenn ich durch 0,1822 teile, erhalte ich n^2 - 286,8255n + 20406,8806

Mit der PQ Formel ergeben sich n1 = 155,2591 und n2 = 131,5664.

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Mit der PQ Formel ergeben sich n1 = 155,2591 und n2 = 131,5664.

Das Quadrieren, das notwendig war um die Wurzel aus der Gleichung wegzubekommen, ist keine Äquivalenzumformung. Das heißt, die Gleichung hat nach dem Quadrieren mehr Lösungen als vorher. Welche deiner Lösungen auch die ursprüngliche Gleichung löst, musst du deshalb durch eine Probe entscheiden.

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Ah, okay. Das passt.

Vielen Dank für die Erklärungen.