Kurvenuntersuchungen f(x)= 2/3 x^3-8/3 x

Question

Gegeben ist die Funktion:

 f(x)= 2/3 x^3-8/3 x

a) Untersuchen Sie f auf Symmetrie, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen von f für -2,5 ≤ x ≤ 2,5.

b) Zeigen Sie, dass die Tangenten in den äußeren beiden Nullstellen parallel verlaufen.

c)  Wie lautet die Gleichung der Wendetangente ? Wie groß ist ihr Steigungswinkel?

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Beschreibe mal genauer was deine Probleme mit der Aufgabe sind.

Answer 1

Gegeben ist die Funktion:

 f(x)= 2/3 x³-8/3 x

a) Untersuchen Sie f auf Symmetrie, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen von f für -2,5 ≤ x ≤ 2,5.

Hier ist mal eine Skizze zur Kontrolle (du sollst sie zwischen den beiden senkrechten Linien zeichnen, d.h. es genügt gerade knapp, wenn die y-Achse von -4 bis + 4 zu sehen ist. Ich habe die beiden ≤ Zeichen eingefügt (zu lesen übrigens als "kleiner oder gleich" kurz : "kleiner gleich")

~plot~ 2/3 x^3-8/3 x; x=-2.5;x=2.5; ~plot~

Nun machst du mal die Rechnungen die du zu a) gelernt hast und kontrollierst die Resultate mit der Skizze.

b) Zeigen Sie, dass die Tangenten in den äußeren beiden Nullstellen parallel verlaufen.

Folgt direkt aus der Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vgl. Aufgabe a. Grund: Auch die Tangenten im liegen alle punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

c)  Wie lautet die Gleichung der Wendetangente ? Wie groß ist ihr Steigungswinkel?

Der Wendepunkt liegt aus Symmetriegründen im Koordinatenursprung (vgl. a)) Nun berechnest du Steigung m = f ' (0)

t: y = m*x

und Steigungswinkel alpha = arctan(m)

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Hallo Lu: Du schreibst "Auch die Tangenten im liegen alle punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung". Natürlich ist klar, was du damit meinst. Um dennoch mögliche Mißverständnisse zu vermeiden, gebe ich alternativ diese Formulierung: "Für punktsymmetrische Graphen gilt: Zwei Tangenten in Punkt und Bildpunkt sind immer punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung"