C-Vektorraum C^n mit <a,b> := ∑_(j=1)^n a_(j)b^quer_(j). Skalarprodukt zeigen.

Question

Ich komme bei folgender Aufgabenstellung nicht weiter:

<a,b> := ∑_(j=1)^n a_(j)b^quer_(j)

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Ich versuche mich nun die ganze Nacht an der Aufgabe und weiß nicht, wie ich die Eigenschaften eines Skalarprodukts bei dieser Aufgabe teste:

Würde mich über Hilfe sehr freuen!

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Wieso fragst du dann bei der ursprünglichen Frage nicht nach?

https://www.mathelounge.de/409295/c-vektorraum-n-mit-a-b-∑_-j-n-a_-j-b-quer_-j-skalarprodukt-zeigen

Answer 1

überprüfe, ob  die Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt sind.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt

Comments

Kann mir einer genauer helfen? Ich blick da echt nicht durch. :O

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Bei welcher Eigenschaft hast du genau Probleme sie nachzuweisen bzw. welchen Ansatz hast du versucht? Hattest ja jetzt 5 Tage Zeit ;)

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Ich muss ja die Positivität <a,a> > 0,die Symmetrie <a,b> = <b,a> und die Linearität zeigen, was ich bei so einer allgemeinen Form aber nicht kann.

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Du setzt die Buchstaben entsprechend ein, der Rest sind dann Rechenregeln für komplexe Zahlen:

$$ < a+b , c >=\sum_{j=1}^{n}{{ (a+b) }_{ j }\bar { c }_{ j }}\\=\sum_{j=1}^{n}{{ a }_{ j }\bar { c }_{ j }}+\sum_{j=1}^{n}{{ b }_{ j }\bar { c }_{ j }}=< a , c >+< b , c >\\< b , a >=\sum_{j=1}^{n}{{ b }_{ j }\bar { a }_{ j }}=\sum_{j=1}^{n}{{ b }_{ j }\bar { a }_{ j }}=(\sum_{j=1}^{n}{\bar{ b }_{ j } { a }_{ j }})^*=< a , b>^*\\< a , a >=\sum_{j=1}^{n}{{ a }_{ j }\bar { a }_{ j }}=\sum_{j=1}^{n}{{ |a| }_{ j }^2}=0\\\text{wenn a=0} $$

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$$ < \lambda a , b >=\sum_{j=1}^{n}{\lambda { a }_{ j }\bar { b }_{ j }}=\lambda\sum_{j=1}^{n}{ { a }_{ j }\bar { b }_{ j }}=\lambda < a , b>\\< a , \lambda b >=\sum_{j=1}^{n}{{ a }_{ j }\bar \lambda \bar{ b }_{ j }}\\=\bar\lambda\sum_{j=1}^{n}{{ a }_{ j } \bar{ b }_{ j }}= \bar\lambda< a,b >\\ $$