Beweis Grenzwert einer Folge unabhängiger Zufallsvariablen

Question

Sei (Xn) n element der natürlichen Zahlen eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit P(X1 =0)=1,

 P(Xn = -n) = P(Xn = n) = (1/(n^2)) und P(Xn =0)=1-(2/(n^2)) für n≥2.

Zu zeigen ist, dass P(|((1/n)*Summe Xi) | ≤ epsilon) gegen 1 konvergiert für alle epsilon >0 und n gegen unendlich.

Ich denke man benötigt hier die Gesetze der großen Zahlen, habe aber keine Ahnung wie ich beginnen soll.

Answer 1

Hi,
es gilt
$$ E(x_1) = 0 \cdot 1 = 0 $$ und
$$ E(x_i) = 0 \cdot \left( 1-\frac{2}{n^2} \right) + n \cdot \frac{1}{n^2} - n \cdot \frac{1}{n^2} = 0 \text{ für } i >1 $$ also
$$ E \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(x_i) = 0  $$
Für die Varianz gilt
$$ \text{Var}(x_1) = 0^2 \cdot 1 = 0 $$ und
$$ \text{Var}(x_i) = 0^2 \cdot \left( 1-\frac{2}{n^2} \right) + n^2 \cdot \frac{1}{n^2} +(-n)^2 \cdot \frac{1}{n^2} = 2 \text{ für } i >1 $$
Also
$$ \text{Var} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \text{Var}(x_i) = \frac{2(n-1)}{n^2} $$
Es gilt weiter wegen der Tschebyscheff-Ungleichung
$$ P\left \{ \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i  \right| \le \epsilon \right \} = 1 - P\left \{ \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i  \right| \gt \epsilon \right \} \ge 1 - \frac{ \frac{2(n-1)}{n^2} }{  \epsilon^2} \to 1  \text{ für } n \to \infty $$