Effektiver Weg um die Summe ∑_(k=1)^100 (k/2 + 1) zu berechnen?

Question

Gibt es irgendeinen Trick dabei, oder muss ich dies wirklich von Hand rechnen (Ist eine Aufgabe auf einem Übungsblatt): ∑

Answer 1

Das ist eine arithmetische Reihe nmit 100 Gliedern. Das erste Glied heißt 1,5, das letzte Glied heißt 51. (erstes + letztes)·(halbe Anzahl der Glieder)=52,5·50=2625.

Answer 2

Ja - natürlich gibt es da einen einfachen Weg.

Falls Du die entsprechende Formel nicht kennst, so kannst Du die Reihenfolge der Summenden umkehren und beide Summenausdrücke paarweise addieren. Aus $$\sum_{k=1}^{100}\left( \frac{k}{2}+1 \right)= \frac{3}{2} + \frac{4}{2}+\frac{5}{2}+...$$ wird $$ =\frac{102}{2} + \frac{101}{2}+\frac{100}{2}+...$$ Also gilt für beide Summen$$2 \cdot \sum_{k=1}^{100}\left( \frac{k}{2}+1 \right)= \left( \frac{3}{2} + \frac{102}{2} \right)+ \left( \frac{4}{2} + \frac{101}{2} \right) +\left( \frac{5}{2} + \frac{100}{2} \right)+... $$ $$ = \frac{105}{2} \cdot 100=5250$$ Daraus folgt: $$ \sum_{k=1}^{100}\left( \frac{k}{2}+1 \right)=\frac{1}{2} \cdot 5250=2625$$

Falls Du die Gaußsche Summenformel kennst, kannst Du obigen Ausdruck auch umformen: $$\sum_{k=1}^{100}\left( \frac{k}{2}+1 \right) = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{100}\left( k+2 \right)= \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{100}k  + \sum_{k=1}^{100} 2 \right)= \frac{1}{2} \left( \frac{100}{2}(100+1) +200 \right)=2625$$  Gruß Werner

Answer 3

Stichwort: Arithmetische Reihe

∑_(k=1)^100 (k/2 + 1)      | aufteilen darf man, weil die Summe endlich viele Summanden hat.

 = ∑_(k=1)^100 (k/2)  + ∑_(k=1)^100 ( 1) 

=1/2  ∑_(k=1)^100 (k)  + (1+1+....+1)

= 1/2 ( 101 * 100/2) + 100

= 2625