Rotationsvolumen: Eine Vase , die innen die Form eines halben einschaligen Hyperboloids hat

Question

kleinster innerer Durchmesser : 8cm, Höhe: 8cm größter Durchmeser : 40/3 cm ist mit Wasser gefüllt . Der Inhalt der Vase wird restlos in ein Gefäß gegeossen, dessen Inenraum ein Rotationsparaboloid ist größter Durchmesser       8* √ 6 cm Höhe: 24cm . Wie hoch steht das Wasser in diesem Gefäß
Bitte um ein Skizze Danke

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kennt sich denn niemand aus ``? Lg

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Ich kann mich da heute Nachmittag mal ransetzen, wenn es bis dahin kein anderer gelöst hat.

Answer 1

Der Hyperboloid

x^2/a - y^2/b = 1

Ich habe zwei Punktbedingungen (8/2, 0) und (40/6, 8)

(8/2)^2/a - 0^2/b = 1
16/a = 1
a = 16

(40/6)^2/16 - 8^2/b = 1
25/9 - 64/b = 1
b = 36

x^2/16 - y^2/36 = 1

 

Der Paraboloid

y = a·x^2

Ich habe hier eine Punktbedingung (8√6/2, 24)

24 = a·(8·√6/2)^2
24 = 96·a
a = 1/4

y = 1/4·x^2

Comments

Schaffst du mit Hilfe der Funktionen jetzt schon das Rotationsvolumen auszurechnen oder brauchst du da auch noch Hilfe?

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Rotationskörper bestimmen

Umkehrfunktion bestimmen

x^2/16 - y^2/36 = 1
x = 2·√(y^2 + 36)/3
y = 2·√(x^2 + 36)/3

Kreisflächenfunktion pi * r^2

y = pi·(2·√(x^2 + 36)/3)^2 = 4·pi·x^2/9 + 16·pi

Stammfunktion bilden

Y = 4·pi·x^3/27 + 16·pi·x

Y(8) - Y(0) = 5504/27·pi - 0 = 5504/27·pi = 640.4

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y = 1/4·x^2
x = 2·√y
y = 2·√x

y = pi·(2·√x)^2 = 4·pi·x

Y = 2·pi·x^2

Y(x) = 640.4
2·pi·x^2 = 640.4
x = √(320.2/pi) = 10.10

Zunächst erschien mir dieser Wert etwas klein anhand der Skizze. Allerdings muss man ja wissen das die Zweite Skizze sowohl vertikal als auch horizontal um den Faktor 2 verkleinert ist.

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Wo befinden sich meine zwei Punktbedingungen ?? könntest du mir diese einzeichnen?

Lg und Danke für das Rechnen dieses Beispiels

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und wie hoch steht nun das wasser im Gefäß ?

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Das Wasser steht 10.10 cm hoch.