Basis von linearer Hülle bestimmen, Dimension und Basisvektoren angeben

Question

ich komm einfach bei dieser Aufgabe nicht weiter:(

Ich hab bei der i):

Eine Matrix gemacht, jedoch komm ich dann auf eine Matrix der Form:

(1 2 3

0  -1 -2

0 0 0)

Und was fange ich damit an? Wie bestimme ich dazu eine Dimension?

Und wie gehe ich bei der ii und iii vor?

Das ist die Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension der folgenden Vektorräume:
i) Die lineare Hülle in \( \mathrm{R}^{3} \) von
$$ M=\left\{\left(\begin{array}{l} {1} \\ {2} \\ {3} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} {2} \\ {3} \\ {4} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} {3} \\ {4} \\ {5} \end{array}\right)\right\} $$
ii) \( \left\{\left(\begin{array}{c}{Z} \\ {W}\end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2}: Z+i W=0\right\} \) als Vektorraum über \( \mathbb{C} \)

iii) \( \left\{\left(\begin{array}{c}{Z} \\ {W}\end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2}: Z+i W=0\right\} \) als Vektorraum iber \( \mathbb{R} \)

Ergänzen Sie außerdem Ihre Basisvektoren von Span (M) zu einer Basis des \( \mathrm{R}^{3} \). 

Answer 1

Eine Matrix gemacht, jedoch komm ich dann auf eine Matrix der Form:

(1 2 3

0  -1 -2

0 0 0)

Daran siehst du:  Eine von drei Zeilen ist eine

Nullzeile, also dim = 3 -1 = 2.

Und für eine Basis nimmst du einfach die ersten beiden Vektoren, die

sind lin. unabh..

Für eine Basis von IR³ tu einfach ( 1 ; 0 ; 0 ) dabei.

Bei ii) und iii) nimmst du für Z und W einfach sowas wie

Z = a+bi  und  W = c+di und bildest die passende Matrix zumlin. Glsystem   Z + i*W = 0 .

Answer 2

Es gibt hier jeweils nicht nur einen Weg zum Ziel. Schau dir z.B. die Diskussionen von "ähnlichen Fragen" und vor allem eure Unterlagen genauer an.

Zu i) Alternative zur Matrix:

Du hast 3 Vektoren in der Menge: Ich nenne sie a, b und c. Sofort ist zu erkennen, dass b-a = c-b = (1,1,1,) .

Wegen b-a = c-b   | + a - b

Nullvektor 0 = a + c - 2b

 Die vorhandenen Vektoren sind also linear abhängig.

Da a und b nicht lin. abh. sind, bilden sie eine Basis der linearen Hülle von M.

Wenn du nun B = {a,b} zu einer Basis von R^3 ergänzt sollst, kannst du z.B. v = a x b (Vektorprodukt) dazunehmen.

ii) und iii) vgl. andere Antwort.