Vollständige Induktion - verstehe einen Schritt in dieser Aufgabe nicht.

Question

es sollte eine bestimmte Behauptung bewiesen werden und ich kann gerade die Musterlösung nicht nachvollziehen. Kann mir jemand erklären was da genau vor sich geht? Die erste Zeile verstehe ich,
aber die zweite Zeile komplett nicht. Die dritte wiederrum ist trivial.

Grüße

samja

Answer 1

 = (n+1)² · (1/4 n² + (n+1))

Es wurde (n+1)² ausgeklammert.

 = 1/4 (n+1)² · ( n² + 4(n+1))

Es wurde auch noch 1/4 ausgeklammert.

 = 1/4 (n+1)² · ( n² + 4n+4)

Der Teilterm 4(n+1) wurde ausmultipliziert.

 = 1/4 (n+1)² · ( n + 2)²

Der Teilterm ( n² + 4n+4) wurde mit binomischer Formel zusammengefasst.

Comments

Peinlich... na ja, kein Wunder nach so einer Mathe-Lernsession. Zeit für Pause. :)
Danke dir!!!!!

Answer 2

Die Art und Weise der Niederschrift ist auch nicht sehr erhellend. Die Rechenschritte hat dir oswald richtig erklärt. aber die Logik und das Verfahren eines Induktionsbeweises bleiben verborgen.

Im sogenannten Induktionsschluss muss aus einer Aussage für n (Induktionsvoraussetzung) auf diese Aussage für n+1 (Induktionsbehauptung) geschlossen werden. "Der sogenannte Schluss von n auf n+1." Im vorliegende Falle muss von

Σ_k=1ⁿ(k³)=1/4·n²·(n+1)² geschlossen werden auf

Σ_k=1ⁿ⁺¹(k³)=1/4·(n+1)²·(n+2)²

Dazu addiert nan auf beiden Seiten der ersten Zeile (Induktionsvoraussetzung) die nächste Kubikzahl (n+1)³

Σ_k=1ⁿ⁺¹(k³)+(n+1)³=1/4·(n+1)²·(n+2)²+(n+1)³

Was dann folgt ist die Umformung der rechten Seite, bis das Ziel (die zweite Zeile oben/ Induktionsbehauptung) erreicht ist, also:

Σ_k=1ⁿ⁺¹(k³)=1/4·(n+1)²·(n+2)²

Diese Umformung der rechten Seite ist das Einzige vom ganzen Beweis, was hier diskutiert wird. Es ist ja auch das Schwierigste vom ganzen Beweis. Aber das Wesen eines Induktionsbeweises ist damit nicht wiedergegeben.