Gebrochenrationale Funktion ableiten f(x) = (x^{2}+3*x+2)/(x^{2}-1)

Question

ich soll die Monotoniebereiche handschriftlich von der oben genannten Funktion bestimmen, dafür muss ich doch die erste Ableitung bilden und die dann gleich 0 setzen.(?)

Ich habe das ganze mal versucht. Ich habe das zuerst ein wenig umgeschrieben und dann halt nach U´*V+U*V´eingesetzt. Dann habe ich den ersten Teil wieder in einen Bruch umgewandelt und wollte das gleiche auch mit dem anderen Teil machen, jedoch hab eich dort meine schwierigkeiten, ich habe mal auf einem schmierzettel versucht das irgendwie zulösen, aber irgenwdie bekomme ich nicht das gleiche raus wie maple ( Wenn ich die Funktion ableiten lasse erhalte ich den zweiten fehlenden Bruch, habe einfach mal damit weitergerechnet)

Dort wo die Sterne rechts sind, hatte ich auch ein paar Probleme, ich war mir nicht ganz sicher ob die Zeichensetzung beim ersten Stern stimmt oder nicht.

Beim zweiten Stern war ich dann ganz raus, ich weiß nicht wie ich das bis zum Schluss zusammenfasse.

Das Endergebnis ist laut Maple (simplify):    -((3)/(x-1)^{2})

Kann mir da jemand helfen? Mache ich das alles eigentich richtig? Ich soll ja die Monotoniebereiche bestimmen.

Answer 1

Mache zunächst eine stetige Ergänzung

f(x) = (x^2 + 3·x + 2)/(x^2 - 1) = (x + 2)/(x - 1)

f'(x) = -3/(x - 1)^2

f''(x) = 6/(x - 1)^3

Comments

Tut mir leid aber ich kann das nicht nachvollziehen :D, kannst du mir das anhand von meinem Beispiel erklären?

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Zerlege Zähler und Nenner deines Bruches in Faktoren

(x^2 + 3·x + 2) / (x^2 - 1)

= (x + 1)·(x + 2) / ((x + 1)·(x - 1))

Nun kannst du im Zähler und Nenner (x + 1) kürzen.

= (x + 2) / (x - 1)

Fertig.

Der Definitionsbereich deiner Funktion bleibt allerdings weiterhin D = R \ {-1; 1}.

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Ah verstehe, den Definitionsbereich berechnet man indem man den Nenner = 0 setzt und dann umformt? 1/-1?

Ansonsten habe ich alles verstanden, habe den rest dann mit der Quotientenregel berechnet.

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Ja genau. Der Definitionsbereich wird durch Werte eingeschränkt bei denen der Nenner Null wird.

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Ich soll ja jetzt die erste Ableitung gleich 0 setzen damit ich die Monotoniebereiche rausbekomme, wie mache ich das am besten? Den Nenner hoch in den Zähler holen?  Oder -3*(x-1)^{2})^{-1}?

Also so wie ich das einmal im Bild gemacht habe

Ich meine das so wie z.B bei 1/x -> x^-1

Answer 2

Tipp:

Vereinfache f(x) erst, dann ist die Ableitung erheblich einfacher.

f(x) = (x^{2}+3*x+2)/(x^{2}-1)

f(x) = ((x+1)(x+2))/((x-1)(x+1))

f(x) = (x+2)/(x-1)     , für x≠-1 

Nun kannst du dir überlegen, wie man diesen Bruch einfach ableiten kann.

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Ah verstehe, werde ich gleich mal versuchen

Answer 3

Hier fehlen jede Menge Klammern. Hattet ihr die Quotientenregel noch nicht?

Richtig wäre [(2x+3)(x²-1)-2·(x²+3x+2)·x]/(x²-1)² .

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Ja klar kenne ich die aber ich habe das gerade in einem Youtube video gesehen und das kam mir ganz einfach vor.  Bei der Quotientenregel komme ich aber auch nicht viel weiter, ich mache immer irgendwas beim zusammenfassen falsch...