Epsilon-Delta-Kriterium Stetigkeit

Question

Es soll gezeigt werden, dass f: ℝ→ℝ, f(x):= 4x²+3  stetig ist.

Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium ist |x-x₀|<δ

Also: |(4x²+3)-(4x₀²+3)| = |4x²- 4x₀²| = |4*(x²-x₀²)| = |4*((x+x₀)*(x-x₀))|

Wie kann ich nun den Ausdruck nach oben abschätzen und ein Delta finden, dass kleiner Epsilon ist?

Answer 1

|4*((x+x₀)*(x-x₀))|   < eps

<=>   |(x-x₀)| < eps / ( 4*(x+x₀))

also ist die Sache mit Delta =  eps / ( 4*x₀))   erfüllt.

Comments

Darf ich also x weglassen, da der Ausdruck dann größer wird?

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genau, und wenn der Nenner kleiner wird, wird der Ausdruck insgesamt größer.

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Stimmt es also, dass ich nur x und nicht x₀ nach oben abschätzen darf, da x der Bezugspunkt für den Abstand ist?

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Es soll doch etwas für alle x in der Nähe von xo gelten.

Da darf die Bedingung nicht von x abhängen, sondern nur von eps und xo.

Answer 2

$$ |4({ x }_{ 0 }+x)({ x }_{ 0 }-x)|<4|{ x }_{ 0 }+x|\delta<\epsilon\\\delta<\frac { \epsilon }{ 4|{ x }_{ 0 }+x| }$$