a +x = b kommutative Gruppe beweisen

Question

Sei (G,+) eine kommutative Gruppe. Wie üblich bezeichene -a das additive Inverse zu a ∈ G und es sei b-a = b+ (-a) für alle a,b ∈ G. Zeigen Sie, für alle a,b ∈ G gibt es genau ein x ∈ G mit a + x = b, nämlich x = b -a. Gehen Sie dabei Schritt für Schritt vor und benennen Sie zu jedem Schritt die benutzte EIgenschaft.

ICh verstehe nicht wie ich das machen soll :(

Answer 1

Zeigen Sie, für alle a,b ∈ G gibt es genau ein x ∈ G mit a + x = b, nämlich x = b -a.

Zeige mal erst:   x = b -a ist jedenfalls eine Lösung, einfach durch Probe:a + (b - a)             Def von b-a (s. Aufg,)

= a + ( b + (-a) )   kommutativ

= a + ( -a + b )     assoziativ

= ( a + (-a) )  + b     Def. inv. El , falls n das neutr. El ist

=  n + b     Def. neutr. El.

= b  Also stimmt die Lösung.

Warum ist es die einzige ?  Angenommen x und y sind Lösungen, dann gilt

a+x=b    und   a +y = b    also

a+x = a+y     addiere von links mit -a

-a + (a+x)  =   -a + ( a+y)    assoziativ

( -a +a ) + x =  ( -a + a ) + y   Def. inv. El

  n  + x  =  n + y    Def. neutr. El.

          x = y       Also alle Lösungen gleich, d.h. es gibt genau eine.