Konvergenz von uneigentlichem Riemann Integral: Integral 0 bis 1 ln(t) dt

Question

Hi leutz

Ich muss folgendes uneigentliches Riemann Integral auf konvergenz untersuchen.

Ich habe das Integral gelöst und komme auf t*ln(t) - t von 0 bis 1

Wenn ich jetzt 1 einsetze komme ich auf 1*ln(1) - 1 - 0*ln(0) + 0

Rechts vom zweiten minus 0*ln(0) bin ich mir unsicher da steht -1 und irgendwas 0*-unendlich.

Konvergiert das jetzt ?

Danke für eure Mühe

Answer 1

Hi

$$\int_{0}^1 \ln(t) \; dt = \lim_{a\to0^+} [t\cdot\ln(t)- t]_a^1 = \lim -1\quad - \quad (a\cdot\ln(a) -a) = -1$$

Denn der letzte Summand in der Klammer hinten ist direkt 0 und für a*ln(a) kann man schreiben ln(a)/(1/a) und wenn man dann l'Hospital anwenden, findet man schnell heraus, dass sich ebenfalls 0 ergibt.

Grüße