f:[-1 , 1] -> R f(x) = exp(cos(x²)) für das zweite Taylorpolynom P2,0 Konstante K finden so dass die Abschätzung gilt:
| f(x) - P2,0(x) | ≤ K |x³| für alle x ∈ [-1 , 1]
Ich habe die Konstante K = 2e bestimmt und nun weiß ich nicht genau ob es dass ist was gesucht wird und ob es richtig ist, hier meine Lösungsidee :
$$ f(0)\quad =\quad { e }^{ cos(x²) }\quad =\quad e\\ f'(0)\quad =\quad -2x{ e }^{ \cos \left( x^{ 2 } \right) }\sin \left( x^{ 2 } \right) \quad =\quad 0\\ f''(0)\quad =\quad 2{ e }^{ \cos \left( x^{ 2 } \right) }\left( 2x^{ 2 }\sin ^{ 2 } \left( x^{ 2 } \right) -\sin \left( x^{ 2 } \right) -2x^{ 2 }\cos \left( x^{ 2 } \right) \right) \quad =\quad 0\\ f'''(0)\quad =\quad -4x{ e }^{ \cos \left( x^{ 2 } \right) }\left( 2x^{ 2 }\sin ^{ 3 } \left( x^{ 2 } \right) -3\sin ^{ 2 } \left( x^{ 2 } \right) +\left( -6x^{ 2 }\cos \left( x^{ 2 } \right) -2x^{ 2 } \right) \sin \left( x^{ 2 } \right) +3\cos \left( x^{ 2 } \right) \right) \\ =\quad -4x{ e }\quad (\quad 0\quad -\quad 0\quad +\quad 0\quad -\quad 0\quad +\quad 3)\quad =\quad -12xe\\ \\ { P }_{ 2,0 }\quad (x)\quad =\quad \sum _{ k\quad =\quad 0 }^{ 2 }{ \frac { { f }^{ (k) }(a)\quad { (x-a) }^{ k } }{ k! } } \\ \\ =\quad \frac { { f }^{ (0) }(x)\quad { (x-0) }^{ 0 } }{ 0! } \quad +\quad \frac { { f }^{ (1) }(x)\quad { (x-0) }^{ 1 } }{ 1! } \quad +\quad \frac { { f }^{ (2) }(x)\quad { (x-0) }^{ 2 } }{ 2! } \\ =\quad { e }\quad +\quad 0\quad +\quad 0\quad \\ \\ \left| { R }_{ 3 }(x)\quad \right| \quad =\quad \left| \frac { { f }^{ (3) }\quad (\xi ) }{ 3! } { x }^{ 3 } \right| \quad =\quad \frac { 12\quad |\xi |\quad e\quad }{ 6 } \quad { \left| x \right| }^{ 3 }\quad =\quad 2e{ \left| \xi \right| \left| x \right| }^{ 3 }\quad \\ \\ x\quad \in \quad \left[ -1\quad ,\quad 1 \right] \quad \quad \rightarrow \quad |x|\quad \le \quad 1\\ \\ 2\quad |\xi |\quad e\quad \le \quad K\\ \\ 2e\quad =\quad K\\ \\ \rightarrow \quad \left| { R }_{ 3 }(x)\quad \right| \quad =\quad \left| \frac { { f }^{ (3) }\quad (\xi ) }{ 3! } { x }^{ 3 } \right| \quad =\quad \frac { 12\quad |\xi |\quad e\quad }{ 6 } \quad { \left| x \right| }^{ 3 }\quad =\quad 2e{ \left| \xi \right| \left| x \right| }^{ 3 }\quad \le \quad \quad 2{ e }{ \left| x \right| }^{ 3 }\quad =\quad K\quad { \left| x \right| }^{ 3 }\\ \\ $$
