Extrempunkte der Funktionenschar untersuchen

Question

brauche Hilfe

Gegeben ist die Funktionenschar Fa mit

fa (x)=-x^2+3ax-6a+4

Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von Fa in Abhängigkeit von a. Für welchen Wert von a liegt der Extrempunkt auf der x-Achse bzw. y-Achse?

Benötige den Lösungsweg mit der notw. Bedingung und dann mit der hinr. Bedingung

Answer 1

f_a(x) = - x²+3ax-6a+4

es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel, die nur einen Hochpunkt im Scheitelpunkt hat.  #

Die notwendige Bedingung ist f_a'(x) = 0.

f_a'(x) = 3·a - 2·x  = 0   ⇔   x = 3a/2

f_a(3a/2)  =  9·a²/4 - 6·a + 4   →  H( 3a/2 |  9·a²/4 - 6·a + 4 ) 

( die hinreichende Bedingung  f_a"(3a/2) < 0 wir hier wegen # eigentlich nicht benötigt)

Auf der y-Achse muss der x-Wert von H = 0 sein  →  a = 0  

Auf der x-Achse muss der  y-Wert  von H = 0   sein:

 9·a²/4 - 6·a + 4 = 0 

a² - 8/3 a + 16/9 = 0  

a² + pa + q = 0

pq-Formel:  p = 8/3  ; q = 16/9

a_1,2  = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\) =  4/3 ± \(\sqrt{16/9 - 16/9}\)

→  a = 4/3

Gruß Wolfgang

Comments

 können sie das dazu korrigieren bei der hinreichenden bed. Welchen Fehler mache ich ? 

Answer 2

f_a (x)=-x²+3ax-6a+4; f '_a(x)=-2x+3a Hochpunkt H(3a/2; 9a²/4-6a+4).

Auf der x-Achse ist y=0: Also 0=9a²/4-6a+4. Für a=4/3 liegt der Hochpunkt auf der x-Achse. Auf der y-Achse ist x=0. Also 3a/2=0. Für a=0 liegt der Hochpunkt auf der y-Achse.

Comments

 können sie das dazu korrigieren bei der hinreichenden bed. Welchen Fehler mache ich ?  

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Wenn du 1,5a in x^2 einsetzt dann steht da (1,5a)^2. Die 1,5 muss also mitquadriert werden. Du bekommst 2,25a^2.

Im übrigen steht davor noch ein Minus das du vergessen hast.

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Ist das jetzt so richtig?  Kommt da noch was hinzu?

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Hallo Bobomo

In diesem Falle ist die 2.Ableitung nicht unbedingt erforderlich, weil -x² am Anfang des Funktionsterms bereits garantiert, dass es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt.

In den letzten 3 Zeilen wendest du die pq-Formel an, ohne den Koeffizienten vor a² zu 1 zu machen. es fehlt die Zeile (nach Multiplikation mit 4/9) a²-8/3·a+16/9=0. Zum richtigen Ergebnis gelangst du durch einen weiteren Rechenfehler.

Nebenbei: die Hälte von 8/3 ist 4/3. Das hilft nicht nur bei der Anwendung der pq-Formel, sondern ermöglicht im besten Falle noch, dass man eine binomische Formel erkennt: a²-8/3·a+16/9=(a-4/3)².

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Habe ein paar Korrekturen in der pq-Formel vorgenommen.