Frage zum Grenzwert rekursiv definierter Folgen

Question

Ich steige da nicht so ganz durch...in manchen Youtubevideos hab ich gesehen, dass einfach für an bzw. an+1 ein Buchstabe eingesetzt wird, nach diesem wird umgestellt und fertig. Einleuchtend!

In anderen Videos wird aber die Monotonie und Beschränktheit gezeigt, woraus ja auch die Konvergenz folgt.

Jetzt meine Frage..ist die erste Variante hinreichend um den Grenzwert zu zeigen?

Answer 1

Jetzt meine Frage..ist die erste Variante hinreichend um den Grenzwert zu zeigen?Nein, damit kann man ihn bestimmen unter der Voraussetzung, dass es einen gibt.

Das kann z.B. mit Monotonie und Beschränktheit begründen.

Answer 2

Nehmen wir an, die Rekursionsformel sei vom Typ a_n+1=f(a_n) und es sei klar, dass es einen Grenzwert x gibt. Dann ist die Lösung des Ansatzes x=f(x) der konkrete Grenzwert. Ein Existenzbeweis ist das aber nicht, denn die Existenz wurde ja vorausgesetzt.

Comments

Dann ist die Lösung des Ansatzes x=f(x) der konkrete Grenzwert.

Diese Aussage ist schlichtweg falsch.