Verständnisfrage (Konvergenzradius?in Potenzen von z?)

Question

Grüßt euch.

Der Konvergenzradius ist ausgerechnet, doch wie gebe ich diesen nun in Potenzen von z an?

Danke euch schonmal!

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Ist das letzendlich einfach der Konvergenzradius, den man per Hadamard-Kriterium ermittelt?

Dann vielleicht noch eine Frage zum Konvergenzradius der dritten Teilaufgabe: Ist es richtig, dass dieser gleich 1 ist? Könnte mir vorstellen, dass der Imaginärteil von a eine Rolle spielt, die ich außer Acht gelassen habe..

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Du rechnest am besten mit dem Quotientenkriterium. Auch hier steht der Betrag und Du erhältst eine reelle Zahl als Radius. Die Reihe konvergiert dann für alle Zahlen innerhalb eines Kreises um den Ursprung mit Radius 1.

Daher macht mir die Äußerung:"...dass der Imaginärteil von a eine Rolle spielt, die ich außer Acht gelassen habe.."  ein wenig Kummer...

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Ja, Quotientenkriterium hab ich genutzt. Da ergibt sich |(n+1+a)| / |(n+1) , was für entsprechend große n zu n/n vereinfacht werden kann, also gegen 1 konvergiert.

Meine Überlegung war, ob sich durch den Imaginärteil von a vielleicht der Konvergenzkreis entlang der imaginären Achse verschiebt, was natürlich allein wegen des Betrages schon Quatsch ist, da hast du absolut Recht.

Noch eine Frage: Wenn ich mir das richtig vorstelle, müsste dann nicht der Konvergenzkreis einer Potenzreihe nur in den reellen Zahlen betrachtet ein "Konvergenzkreuz" sein?

Danke für deine Hilfe!

EDIT: Kein Kreuz, sondern sogar nur eine Strecke.

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Du hast recht. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, dann ist der Konvergenbereich das offene Intervall (z₀-R,z₀+R). Aber auch hier Vorsicht. An den beiden Randpunkten kann wieder alles passieren.

Answer 1

Die Potenzen von z beziehen sich nicht auf den Konvergenzradius, sondern auf das Wort Potenzreihen. Du musst nichts mehr machen, wenn du die Radien hast.

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Oh man, alles klar... da stand ich auf dem Schlauch.